信息处理 - 滤波器差分方程和脉冲响应 - 吾爱随笔录

滤波器差分方程和脉冲响应

信息处理过滤器冲动反应

2022-02-07 20:43:23

我无法指定以下系统的传递函数，如下所示：

从最初的角度来看，我计算出差分方程为：

y (n) = x (n) - p^{N} x (n - N) + p y (n - 1)

$y(n) = x(n) - p^Nx(n-N) +py(n-1)$

但是，根据以下差分方程的标准化方程，y(n-1) 之前的常数是否应该为负 p？

\begin{aligned} y (n) = b_{0} x (n) + & b_{1} x (n - 1) + \dots + b_{M} x (n - M) \\ - & a_{1} y (n - 1) - \dots - a_{N} y (n - N) \end{aligned}

$\begin{align} y(n)=b_0 x(n)+&b_1 x(n-1)+\cdots+b_M x(n-M)\\ -&a_1 y(n-1)-\cdots-a_N y(n-N) \end{align}$

此外，我正在尝试计算脉冲响应，并且要求第一个 $N$ 值（ $n=0,1,2,\ldots,N-1$ ) 的滤波器的脉冲响应定义为：

h (n) = p^{2}

$h(n) = p^2$

我不能从我目前的工作中得到这个工作，但觉得它可能与第一个问题有关。

感谢您花时间阅读我的问题，任何帮助将不胜感激！

1个回答

你的差分方程是正确的。我不确定你为什么担心符号，因为系数的符号 $a_n$ 只是定义问题。只需选择 $\tilde{a}_n=-a_n$ 并且您有带正号的系数。

系统的脉冲响应可以通过制作一个包含以下条目的表以直接的方式确定 $n$ 和 $y[n]=h[n]$ （带输入 $x[n]=\delta[n]$ ):

\begin{array}{cc} n & y [n] \\ 0 & 1 \\ 1 & p \\ 2 & p^{2} \\ ⋮ & ⋮ \\ N - 1 & p^{N - 1} \\ N & p^{N} - p^{N} = 0 \\ N + 1 & 0 \\ ⋮ & ⋮ \end{array}

$\begin{array}{c|c} n & y[n]\\ \hline 0 & 1\\ 1 & p\\ 2 & p^2\\ \vdots & \vdots\\ N-1 & p^{N-1}\\ N & p^N-p^N=0\\ N+1 & 0\\ \vdots & \vdots \end{array}$

请注意，尽管系统中有递归，但我们有一个有限脉冲响应 (FIR)，即，系统也可以在没有递归的情况下实现。脉冲响应可以写为

h [n] = {\begin{cases} p^{n}, & 0 \leq n < N \\ 0, & otherwise \end{cases}

$h[n]=\begin{cases}p^n,&0\le n <N\\0,&\text{otherwise}\end{cases}$

或者，等价地，作为

h [n] = p^{n} (u [n] - u [n - N])

$h[n]=p^n(u[n]-u[n-N])$

在哪里 $u[n]$ 是离散时间单位阶跃函数。

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