信息处理 - 如何推断微分方程表示的系统的 LTI、因果关系和 BIBO 稳定性？ - 吾爱随笔录

如何推断微分方程表示的系统的 LTI、因果关系和 BIBO 稳定性？

信息处理线性系统稳定因果关系

2022-02-21 19:36:55

我已经开始在 Oppenheim 的Signals & Systems中了解由微分方程表示的系统，但我对此感到非常困惑。我试图了解如何证明一个系统对于任何输入都是 LTI（或不是）、因果（或不是）和 BIBO 稳定（或不是）。

我知道以下内容（如果我错了，请纠正我）：

如果微分方程的辅助条件为零，则系统是线性的。因此，显示线性很容易。
系统由对狄拉克输入的响应定义。
因果关系，LTI $\iff$ 初始休息（数学上的意思是如果 $x(t)=0$ 为了 $t<0$ 然后 $y(t)=0$ 为了 $t<0$ ）。

我不确定我是否做对了，但如果我愿意使用#3 来表明系统是因果关系和 LTI，那么它必须对任何输入进行初始休息。如果像我说的那样必须适用于任何 $x(t)$ ? 我认为也许使用 #2 会有所帮助（求解 delta 函数的微分方程，然后以某种方式显示），可以吗？

总之，如果您向我解释当我得到一个由微分方程表示的系统时如何显示这些特征，我将不胜感激。例如，如果我们得到了那个简单的 ODE：

\frac{d^{2} y}{d t^{2}} - 3 \frac{d y}{d t} + 2 y (t) = x (t), y (0) = \frac{d y}{d y} = 0

$\frac{d^2y}{dt^2}-3\frac{dy}{dt}+2y(t)=x(t) \ \ \ ,y(0)=\frac{dy}{dy}=0$

1个回答

我拿你的方程式： $\frac{d^2y}{dt^2}-3\frac{dy}{dt}+2y(t)=x(t)$

拉普拉斯变换将是： $s^2Y(S) - 3sY(S) +2Y(s) = X(s)$

现在我可以找到传递函数： $H(s) \triangleq \frac{Y(s)}{X(s)}$

$H(s)=\frac{1}{s^2-3s+2}$

极点是的解，denominator = 0零点是的解numerator = 0。在这种情况下，zeros因为分子总是等于1，所以不存在，denominator = 0是一个可以轻松求解的二阶方程。

$Poles[H(s)] = \{s=1 ; s=2\} \\ Zeros[H(s)] = \{\}$

有两个real极点。

要确定系统是否存在，BIBO stable您可以查看所有极点是否。在这个例子中，至少有一个极点的实部（实际上都是）所以这个系统是。real part $< 0$ $\geq 0$ UNSTALBE

要成为causal数量zeros必须是数量在这种情况下我们有它是真实的并且意味着你的系统是。 $\leq$ poles $0 \leq 2$ CAUSAL

Time invariant系统是一个不依赖于absolute time但仅依赖relative time于时间起源的系统。通常transfer function，没有信息可以确定它是否是时不变系统，因为它应该是您问题的外部规范。顺便说一句，您几乎总是DSP考虑系统。time invariant

最后，这只是零极点分析的快速概述，您还应该研究这个论点并证明我使用的概念。

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