两个序列$\sin(\omega_0n)u[n]$和$\sin(\omega_0n)$非常不同，因此它们的变换不能相同。这$\mathcal{Z}$- 变换$x[n]=\sin(\omega_0n)u[n]$可以计算为

$$X(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\sin(\omega_0n)z^{-n}\tag{1}$$

收敛于$|z|>1$到您链接到的表中给出的表达式。然而$\mathcal{Z}$- 变换$x[n]=\sin(\omega_0n)$将会

$$X(z)\overset{?}{=}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\sin(\omega_0n)z^{-n}\tag{2}$$

它不会在任何地方收敛，因此不存在。

因此，$\mathcal{Z}$-transform 不适用于计算离散时间 LTI 系统对正弦输入的响应。但是，请注意离散时间傅里叶变换 (DTFT)$x[n]=\sin(\omega_0n)$确实存在。它包含狄拉克增量脉冲：

$$\text{DTFT}\{\sin(\omega_0n)\}=-j\pi\left[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)\right]\tag{3}$$