这似乎更像是一个语义问题。

信号随时间周期性变化$T$如果

$$x(t+n\cdot T) = x(t), n \in \mathbb{Z}$$

所以信号是周期性的$0.5$因为对于$T = 0.5 \cdot n$余弦的参数是整数倍$2 \pi$. 因为它是周期性的$0.5$它在所有整数倍中也是周期性的$0.5$， IE$1$,$1.5$,$2$等等

在这种情况下，它也是周期性的$0.25$自从

$$\cos^2(4 \cdot \pi \cdot t ) = 0.5 \cdot (1+\cos(8 \cdot \pi \cdot t))$$

所以任何周期信号都有无限多个周期，基波是最小的一个，其他的都是基波的整数倍。

三角函数本质上是指数的。因此，参数加倍对应于函数的平方（在某种意义上）。在这种情况下，通过应用角度加法公式可以看出：

$$\begin{aligned} \cos( 2\theta ) &= \cos( \theta + \theta ) \\ &= \cos(\theta)\cos(\theta) - \sin(\theta)\sin(\theta) \\ &= \cos^2(\theta) - ( 1- \cos^2(\theta) ) \\ &= 2 \cos^2(\theta) - 1 \end{aligned}$$

制造

$$\cos^2(\theta) = \frac{\cos( 2\theta ) + 1}{2}$$

将其应用于您的方程式：

$$x(t)=\cos^2(4\pi t) = \frac{\cos( 8 \pi t ) + 1}{2}$$

由此很明显，基本周期是 0.25，因为这使得。$8 \pi t = 2\pi$

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根据要求：

$$\begin{aligned} x(t) &= \cos^3(4\pi t) \\ &= \left( \frac{ e^{i 4\pi t} + e^{-i 4\pi t} }{2} \right)^3 \\ &= \frac{1}{8}\left( e^{i 12\pi t} + 3 e^{i 4\pi t} + 3 e^{-i 4\pi t} + e^{-i 12\pi t} \right) \\ &= \frac{1}{4}\left[ \cos(12\pi t) + 3 \cos( 4\pi t) \right] \\ \end{aligned}$$

你应该能够从那里计算出来。请注意，平方的情况可以以相同的方式处理。

我将这种技术广泛用于这些公式：

• 最适合峰值的精确近瞬时频率公式（第 1 部分）
• 最适合峰值的精确近瞬时频率公式（第 2 部分）
• 最适合过零的精确近瞬时频率公式

如果有帮助，请生成 1 Hz 的单位幅度正弦波及其平方：

然后正弦波及其正方形如下所示：

您可以看到直流分量：平方正弦波的平均值（整数周期的平均值）为 1/2。而红色正弦波的频率正好加倍，所以周期减半。DC 和倍频是通过将正弦波与自身相乘获得的“拍频”。