设置：信号采样率 1000Hz，DFT 1s 1000 个样本。这产生了 1Hz 的频率分辨率。
我知道，这是有意义频率的限制，当我想读取 0.5Hz 时，要么采样率加倍，要么采样率加倍。
困扰我的是，当我在没有任何频谱窗口的人工信号（稀疏信号、一些 k Hz 余弦和一些 0.5 Hz 余弦，例如 2Hz、5.5Hz、12Hz、14.5Hz 等）的给定设置中计算 0.5Hz 的 DFT 时，结果似乎有效。我知道这不应该发生，因为信号密集、频率不完美（频率分辨率的倍数）和噪声情况变得复杂。
我在频率分辨率以下究竟读到了什么，它可能工作的条件是什么？
以 0.5 Hz 间隔计算 DFT 相当于将信号附加 1000 个零，然后计算 2000 点 DFT。应该清楚的是，这不会给信号添加任何真实信息。然而，它有时会很有用。
这种零填充真正发生的是，您看到的是频谱的插值版本。这意味着在每两个“有效”点之间（间隔为 1 Hz），您会看到另一个产生插值的点，这可能是您的频谱的更平滑版本。插值内核本质上是一个 sinc 函数（准确地说是周期化 sinc）。
根据您想对光谱做什么，这样的插值结果在视觉上可能更令人愉悦，有时更清楚地显示我们本来会错过的东西。
特别是，如果你有一个谐波信号并且它的频率不在 DFT 网格上，你的 DFT 将不会显示一条线，而是多条线。这也被称为尖桩篱栅效应。这张图片可能会令人困惑，在这种情况下，插值版本会更清楚地向我们展示正在发生的事情，因此更容易解释。此外，这使我们能够以更高的精度找到实际频率（注意：分辨率不会因此而提高，但精度会提高）。
这里有两个例子。在每个示例中，为了清楚起见，我都考虑了 N = 30。对于第一个示例，我们的频率为 5 Hz，正好落在 DFT 网格上。30 点 DFT（用红色表示）只给出一条线）。为清楚起见，添加了带有虚线的插值版本。您可以清楚地看到类似 sinc 的插值内核，以及在网格情况下我们如何准确地对零交叉进行采样，这就是我们只看到一条线的原因。
在第二个示例中，频率被选择为离网频率（5 到 6 Hz 之间）。现在 30 点 DFT 显示了许多线，如果我们只有这些线，可能很难看出这些线仅源于一个谐波。再次添加插值 DFT 显示了与之前非常相似的图片：我们可以看到它看起来像一个谐波，我们可以更好地发现它的最大值。
对于跨帧的单个纯音，低于每帧 1 个周期的频率（DFT 不关心采样率）表示跨帧的单个周期的分数。从理论上讲，它们可以像在整个帧中具有更多周期的音调一样准确地测量。只要只有一个纯音，就可以求出频率（然后是相位幅度和幅度）。不过，越接近 DC（或 Nyquist），计算对噪声就越敏感。
这些文章给出了准确描述单个纯音的 bin 值的公式。它们适用于分数频率的情况。
请注意，对实数值公式进行插值将与小数值的 DFT 定义不匹配。它们是仅在整数值处匹配的等式的简化形式。正是这种简化使得这些公式在数学上是可逆的，从而产生了这些文章其余部分中的方程。
这些文章给出了计算频率的公式：
这些文章给出了相位和幅度估计的公式：
注：“两仓方案”中的方法是对“方法一”的改进。
是的，这些都有效。它们在数学上都是精确的。它们在各种情况下的噪声鲁棒性不同，因此在给定的一组情况下可以使用最佳公式。