计算科学 - 求解具有状态和时间相关边界条件的 PDE - 吾爱随笔录

我有兴趣解决以下 PDE（热方程）：为了解决它，我将空间均匀地离散为段并将 PDE 转换为 ODE：我可以使用任何 ODE 例程（例如 MATLAB 中的 ode45 或 ode15s）求解。对于我的问题的特殊情况，PDE 的 Neumann 边界条件取决于 u_k 本身的值即在哪里

\frac{\partial u}{\partial t} = κ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}

$\frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}$

N

$N$

N + 1

$N+1$

\frac{d u_{k}}{d t} = κ \frac{u_{k + 1} + u_{k - 1} - 2 u_{k}}{(Δ x)^{2}} k = 0, 1 \dots . N

$\frac{du_k}{dt} = \kappa\frac{u_{k+1} + u_{k-1} - 2u_k}{(\Delta x)^2} \quad k=0,1\ldots.N$

u_{k}

$u_k$

\frac{d u_{b}}{d x} = {\begin{array}{cc} α & u_{b} < u_{c r i t i c a l}, \\ - γ u_{b} & u_{b} \geq u_{c r i t i c a l} \end{array}

$\frac{du_b}{dx}= \left\{ \begin{array}{cc} \alpha & u_b < u_{critical}, \\ -\gamma u_b & u_b \geq u_{critical} \end{array} \right.$

α

$\alpha$ 和是常数并且。

γ

$\gamma$

b = {0, N}

$b=\{0,N\}$

假设我正在使用一些数值 ODE 求解器（例如 MATLAB 中的 ode45）解决上述问题，并且有两个例程：odefun（我提供给求解器）来评估我定义的导数和odestep，求解器称之为在每个成功的集成步骤之后，我应该在哪里检查边界条件是否需要更改，在odefun或odestep 中？我问这个是因为求解器内部可能会使用odefun例程来评估 jacobian、错误等，理想情况下，我们不应该在集成步骤的中间更改边界条件，对吗？