计算科学 - 双曲方程及特征 - 吾爱随笔录 - 问答

双曲方程及特征

计算科学双曲-pde

2021-12-13 18:29:10

我对普通平流 pde 的变量之间的联系有点困惑：

u_{t} + a u_{x} = 0

$u_t+au_x=0$ 所以一开始我以为

x

$x$ 和

t

$t$ 是独立的并且

u

$u$ 是它们的函数，但是我们可以编写相同的 PDE 并说存在特征，然后我们有它们的 ODE：

\frac{d x}{d t} = a

$\frac{dx}{dt}=a$ 所以，现在

x

$x$ 是一个函数

t

$t$ . 那么他们是依赖还是不依赖？

1个回答

您最初的假设是正确的。x 和 t 是独立的，u 是因变量。

你的困惑是因为你假设 $\frac{dx}{dt} = a$ 是方程的解。请注意 $u$ 不在此 ODE 中。基本上，这是 PDE 对称性的方程。得到这个方程后，你可以写

u = F(x-at)

这是实际的解决方案，因为您将通过指定初始条件在 t = 0 时知道 u。

x 和 t 不相互依赖。 $\frac{dx}{dt} = a$ 仅仅说明解是在作为此 ODE 解的行上完全指定的，因此称为特征。

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