计算科学 - 在遭受维数诅咒的情况下求解泊松方程 - 吾爱随笔录

我在立方体中有一个传热方程 $R^{100}$ ： $[0,1]\times[0,1]\times[0,1]\dots$ ：

\nabla^{2} φ = f,

$\nabla^2 \varphi = f,$ 边界条件以点数的形式设置

p_{i}

$p_i$ , 温度场应最小偏离观测值

o_{i}

$o_i$ ，或者换句话说，热方程的解应该最小化：

\sum_{k = 0}^{m} | φ (p_{i}) - o_{i} |^{2} .

$\sum_{k=0}^{m}|\varphi(p_i) - o_i|^2.$

在 2-3 维情况下，这将是一个非常简单的问题（假设问题适定），我已经用 FEM 成功解决了它，但对于高维情况，我什至无法构建网格，更不用说进行任何计算了。（我不存储 $f$ ，我可以很容易地在任何一点计算它）。

看来，我需要采用一些无网格的方法。我简要浏览了谷歌并找到了两个可能的场所：使用径向基函数或使用粒子方法。它们适用于我的情况吗？我的问题完全可行吗？

我以前从未处理过高维问题，所以我想听听所有关于相关和可能相关文献的建议和参考。