计算科学 - 大型线性系统中的迭代单变量解 - 吾爱随笔录

我有一个系统 $A$ 是一个大 $n\times n$ marix 与快速 MVM。它可能有许多非零条目（尽管采用结构化方式以允许快速 MVM），并且不一定对角占优。

然而， $A$ 是弱正定的。

$Y$ 是一个 $n\times m$ 密集矩阵。

我了解迭代基于 Krylov 子空间的方法可用于查找 $X=A^{-1}Y$ ，并且他们表现良好。如果我只对查找感兴趣，是否可以实施任何优化：

x = diag Y^{⊤} A^{- 1} Y

$\textbf{x}=\text{diag }Y^\top A^{-1}Y$ 换句话说，我只想解决

i

$i$ -解决方案的第一个条目

Y^{⊤} x_{i}

$Y^\top\textbf{x}_i$ 在哪里

A x_{i} = y_{i}

$A\textbf{x}_i=\textbf{y}_i$ 为了

Y = [y_{i}]_{i}

$Y=[\textbf{y}_i]_i$ .

MVM 代表矩阵向量乘法。在我的应用程序中，这只需要〜 $n$ 运行时相比 $n^2$ 稠密的时候。