我假设你有兴趣

$b-\epsilon \leq a^{T}x \leq b +\epsilon$

而不是

$b+\epsilon \leq a^{T}x \leq b +\epsilon$

正确的？

如果您对更复杂的约束参数化感兴趣，它们会是什么样子？

在这种线性情况下，对于任何固定的$\epsilon$（包括0），可以最小化（或最大化）$x_{i}$受约束。

$a^{T}x \geq b-\epsilon$

$a^{T}x \leq b+\epsilon$

$1^{T}x=1$

这是一个线性规划问题。一旦有了最优解，就可以从对偶解中找到最优值对约束右侧变化的敏感性。这在线性规划中称为“敏感性分析”。您还可以使用“参数线性规划”技术来找到作为函数的最优值$\epsilon$.

许多关于线性规划的教科书都讨论了参数线性规划技术。例如，我相信您会在 Vanderbei 的文本中找到它（我现在不在办公室，所以我无法立即验证这一点。）

对于凸非线性问题，您还可以使用拉格朗日对偶来执行灵敏度分析。还有一些论文中讨论了参数非线性规划技术，但这还没有得到很好的发展。