几个包（MATLAB、Mathematica、SciPy、mpmath）已经实现了物理学家 Hermite 多项式，它们的定义为

$$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n}e^{-x^2}=\left (2x-\frac{\mathrm d}{\mathrm dx} \right )^n \cdot 1$$

它们没有被规范化，规范应该是

$$||H_n(x)||_{L^2(e^{-x^2})} = 2^n \sqrt{\pi} n!\, .$$

这些多项式与权重正交，即$e^{-x^2}$

$$\int_{-\infty}^\infty H_m(x) H_n(x)\, e^{-x^2}\, \mathrm{d}x = 2^n \sqrt{ \pi} n! \delta_{nm}\, .$$

如果您想以数字方式检查此正交性/归一化，则需要小心。一方面，你有一个无限的区间。正如您所说，您可以使积分区域“足够大”，但您有一个警告：多项式的最大值增长非常快，您还需要非常快地增加区域的大小。例如，请参阅使用梯形规则对和之间的正交性使用您建议的区间 [-3, 3] 的结果。$H_0$$\{H_2, H_4, H_6, H_8\}$

我们可以将积分区间增加到，例如，[-10, 10] 以获得

我们看到所有考虑的多项式都是“正交的”。然而，当您增加多项式的阶数时，您会遇到另一个复杂情况：符号变化的次数会增加。为此，您需要考虑一种特殊类型的正交或使用Chebfun之类的东西。