计算科学 - 将 2D FEM 中的 EigenModes 引入 3D FEM - 吾爱随笔录

将 2D FEM 中的 EigenModes 引入 3D FEM

计算科学有限元波传播电磁学

2021-12-25 08:25:43

这个特殊的 FEM 问题涉及波导和 FEM 3D 仿真。为了用波口（TE10 等）激发波导，我们通常需要求解特征值（ $k$ ) 使用 FEM 2D 的 helmholtz 方程。

▽^{2} ϕ_{2 D} + k^{2} ϕ_{2 D} = 0, ϕ_{2 D} = E_{z} (T M) o r H_{z} (T E)

$\bigtriangledown^{2}\phi_{2D}+k^{2}\phi_{2D}=0 ,\quad\phi_{2D}=E_{z}(TM)\quad or \quad H_{z}(TE)$ 解决后，

k

$k$ 给出特定波口尺寸的允许模式和

ϕ_{2 D}

$\phi_{2D}$ 给出场模式。到目前为止，我已经完成了所有工作并理解了，但我不确定如何将这些结果包含到 FEM 3D 模拟中。这份来自 researchgate 的文件（点击下载 pdf）说模式模式

ϕ_{2 D}

$\phi_{2D}$ 使用 FEM 2D 发现的用作 FEM 3D 的激励。但是，我不太明白如何将此源包含到 FEM 3D 中。我认为我必须做的是合并

ϕ_{2 D}

$\phi_{2D}$ (FEM2D) 转换为 FEM 3D 的非齐次 helmholtz 方程作为源

g

$g$ 如下所示。

▽^{2} ϕ + k^{2} ϕ = g

$\bigtriangledown^{2}\phi+k^{2}\phi=g$ 但是，我不太确定这是否正确。我也没有找到好的波口来源。

1个回答

您正在寻找波导端口边界条件。我认为最容易获得的处理方法是 Jin & Riley 的天线和阵列有限元分析，第 5 章。它可以在亚马逊上找到，请参阅https://www.amazon.com/dp/0470401281/。很多这些公式是由 Jin-Fa Lee 首次介绍的，您可以在 IEEE 微波理论和技术中找到他的著作，例如参见http://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/85399/ 。这是一个令人惊讶的复杂功能，如果您需要处理支持混合模式的不均匀横截面，您需要在 2D 求解器中相当谨慎地选择离散化方法（混合元素）。

我倾向于认为这个公式几乎就像一个域分解方法，在主计算域中你扩展 ${\vec E}$ 在分段 FEM 基础 (Nedelec) 和相邻的“端口”或“无限波导”域中，您展开 ${\vec E}$ 在波导模式的基础上。模态解决方案 ${\vec E_{2D}}$ 扮演两个角色，它为您提供激励电流的“形状” ${\vec J}$ / ${\vec M}$ ，但它也提供了基变系数来建立两个域之间的切向场连续性。您不需要使用 PML 进行匹配，“吸收”行为内置于模态扩展中（事实上，我建议不要在这里使用 PML，它对于接近截止的模式不太准确并且不吸收倏逝波，但是以模态扩展终止可以处理这两种情况）。

您可以通过求解 2D 特征问题以数值方式计算这些模式，或者以解析方式表示它们（使用矩形波导的正弦和余弦的张量积，或圆柱波导的贝塞尔函数等）。虽然数值解是最通用的，但解析展开式也有优势，主要是在稳健地分离/定向简并模式（偏振态或 TE 与 TM 结构不同但仍以相同方式传播的模式）时k，所以数值求解器不禁将它们混合在一起）。这对于圆形波导来说尤其严重。

对于一般情况，有一个令人惊讶的长尾代码来正确/稳健地实现这一点：检测规范形状并将它们与解析展开匹配的代码，检测多个导体的存在并调用 2D 泊松求解器以查找 TEM 模式的代码（其中也可能退化，考虑共模与差模），最后是用于在非规范形状上提取 TE/TM 模式的通用 2D 特征求解器。

话虽如此，尽管 2D eigensolve 被描述为“最后一道防线”，但您可以单独使用它，至少在简单的结构（TE10 波导、同轴电缆）上可以走得很远。所以我认为这是一个很好的起点。

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