计算科学 - 二阶 ode 的有限差分是的' 2+是是的''+2X是的是的'− 0.1是的2= 0y′2+yy″+2xyy′−0.1y2=0y'(1)=0和y 是的'( 1 ) = 0y′(1)=0( 是的( 1 ) = 1y(1)=1 - 吾爱随笔录

计算科学 matlab 有限差分颂边界条件

2021-11-30 08:24:00

如何求解二阶非线性 ODE

y^{' 2} + y y^{″} + \frac{2}{x} y y^{'} - 0.1 y^{2} = 0

$y'^2+y y''+\frac{2}{x} y y' -0.1 y^2=0$ 取决于

y^{'} (1) = 0

$y'(1)=0$ 和

y (1) = 1

$y(1)=1$ 在区间

0 < x \leq 1

$0 < x \le 1$ 上。

我将方程转换为 PDE。时的稳态解，这是 ODE 的解。我在 MATLAB 中使用了显式有限差分方案。但它似乎没有给出正确的解决方案。 $y'^2+y y''+\frac{2}{x} y y' -0.1 y^2=y'_t$ $t \to \infty$

我在 MATLAB 中实现边界条件时遇到问题。

如果您能帮我解决这个问题，我将不胜感激。还提到任何其他数值方法都会很棒。谢谢。

2个回答

您在 x=1 时有两个条件，我希望这是正确的，在这种情况下您会遇到初始值问题。将其写为一阶系统 $z=y'$

z^{'} = y / 10 - z^{2} / y - 2 z / x, y^{'} = z

$z' = y/10 - z^2/y - 2z/x, \qquad y' = z$ 初始条件的 ode 求解器求解到。当您接近时，您将面临除以零的问题，除非。也有可能变为零。你有理由期望你的方程应该有非负解吗？

y (1) = 1, z (1) = 0

$y(1) = 1, \qquad z(1) = 0$

x = 1

$x=1$

x = 0

$x=0$

x = 0

$x=0$

z \to 0

$z \to 0$

y

$y$

有时，pdes 会导致解决方案不稳定（围绕圆柱体流动），因此您面临的问题是会出现无限多的解决方案。如果必须达到一个特定的解决方案，则此类问题不适用于时间离散化。我的意思是限制没有任何意义。

lim_{t \to \infty} y (t)

$\lim_{t\to \infty}y(t)$

相反，您可以通过设置来线性化问题（牛顿法）：并从线性问题中求解应用均匀的狄利克雷 BC。

y^{n + 1} = y^{n} + δ y^{n}

$y^{n+1}=y^n+\delta y^n$

δ y^{n}

$\delta y^n$

请记住，中的非线性项可以忽略，因为它应该很小。 $\delta y^n$

如果在可能的解附近足够平滑，牛顿法将完成二次收敛。 $y$

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