计算科学 - 如何计算项目_ _ _小号DP _( C⊙ X) . / CprojSDP(C⊙X)./C没有数字问题？ - 吾爱随笔录 - 问答

如何计算项目_ _ _小号DP _( C⊙ X) . / CprojSDP(C⊙X)./C没有数字问题？

计算科学浮点半定规划投影

2021-12-18 10:53:08

我有一个矩阵， $X$ ，它是对称的。我计划 $C \odot X$ 和 $D\odot X$ 为半定锥。 $C$ 是一个 Gramian 矩阵，其中一些元素接近于零，当然也是半定的，其中一行和一列等于零。 $D$ 是一个矩阵，除了一列和一行等于零（与 $D$ ）。两者都是对称的。投影后，我想获得 $X':=\mathrm{proj}(C\odot X)./C$ , （按元素除法）但有些值变得非常大，可能是因为矩阵中的相应元素 $C$ .

如何正确获取 $X'$ ?

1个回答

你得到非常大的数字绝非偶然。考虑

C = (\begin{array}{ccc} 2 & 1 & ϵ \\ 1 & 2 & 1 \\ ϵ & 1 & 2 \end{array})

$C = \left(\begin{array}{ccc} 2 & 1 & \epsilon\\ 1 & 2 & 1\\ \epsilon & 1 & 2 \end{array}\right)$ 和

X = (\begin{array}{ccc} - 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}) .

$X = \left(\begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ \end{array}\right).$ 注意

X

$X$ 有特征值

{1, \pm 2}

$\{1, \pm 2\}$ 和

C

$C$ 内有特征值

2 ϵ

$2\epsilon$ 的

{2 - \sqrt{2}, 2, 2 + \sqrt{2}}

$\{2 - \sqrt{2}, 2, 2 + \sqrt{2}\}$ ; 这些并不接近单数。

但是，您可以计算出 $\mathrm{proj}_{SDP}(C .*X)$ 非常接近（进入范围内 $10^{-3} + \epsilon$ 左右）矩阵

(\begin{array}{ccc} 0.111 & 0.474 & 0.124 \\ 0.474 & 2.131 & 0.969 \\ 0.124 & 0.969 & 2.007 \end{array}),

$\left(\begin{array}{ccc} 0.111 & 0.474 & 0.124\\ 0.474 & 2.131 & 0.969\\ 0.124 & 0.969 & 2.007\\ \end{array}\right),$ 其中有一些非常非零的条目

C

$C$ 已

ϵ

$\epsilon$ 的。

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