计算科学 - 求解矩阵具有不平衡对角元素的线性系统 - 吾爱随笔录

我正在尝试解决以下一组方程：

A(i,i-2)*u(i-2) + A(i,i-1)*u(i-1) + (A(i,i)+β(i) )*u(i) + A(i,i+1)*u(i+1) + A(i,i+2)*u(i+2)= B(i) + β(i)

其中 i=1:1000000

如果β 的值变化很大（几个数量级），那么用数值求解这个方程的最佳策略是什么。我应该期待结果的波动吗？

可能的补救措施是什么？

*如果我在迭代求解的同时在方程的两边加上“10000*u(i)”可以吗？*

编辑：系数矩阵的结构大致如下所示（如果 i=1:9，而我试图为 i=1:10^6 做）： 0& 0& 0& A86& A87& A88 + β8& A89& \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& A97& A98& A99 + β9& \\ \end{bmatrix} 这里A(i,i)=A(i,i-2)+A(i, i-1)+A(i,i+1)+A(i,i+2)

[\begin{matrix} A 11 + β 1 & A 12 & A 13 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ A 21 & A 22 + β 2 & A 23 & A 24 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ A 31 & A 32 & A 33 + β 3 & A 34 & A 35 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & A 42 & A 43 & A 44 + β 4 & A 45 & A 46 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A 53 & A 54 & A 55 + β 5 & A 56 & A 57 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A 64 & A 65 & A 66 + β 6 & A 67 & A 68 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & A 75 & A 76 & A 77 + β 7 & A 78 & A 79 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & A 86 & A 87 & A 88 + β 8 & A 89 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & A 97 & A 98 & A 99 + β 9 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} A11 + β1& A12& A13& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \\ A21& A22 + β2& A23& A24& 0& 0& 0& 0& 0& \\ A31& A32& A33 + β3& A34& A35& 0& 0& 0& 0& \\ 0& A42& A43& A44 + β4& A45& A46& 0& 0& 0& \\ 0& 0& A53& A54& A55 + β5& A56& A57& 0& 0& \\ 0& 0& 0& A64& A65& A66 + β6& A67& A68& 0&\\ 0& 0& 0& 0& A75& A76& A77 + β7& A78& A79& \\ 0& 0& 0& 0& 0& A86& A87& A88 + β8& A89& \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& A97& A98& A99 + β9& \\ \end{bmatrix}$

  **β(i,i)>0
  β(i,i) >> A(i,i-2)+A(i,i-1)+A(i,i+1)+A(i,i+2)**

β的值也有很大的变化。

**矩阵中每个条目的顺序约为 10^-2，但对角线条目和 β 的顺序从 1 到 10^6 不等。