我决定使用有限差分求解具有解析解的最简单微分方程之一，特别是$\frac{du(x)}{dx}=2x$. 该方程是具有二次方程的一阶 ODE$u(x)=x^{2}$作为其解决方案。该问题可以归类为边界问题，因为我们知道任意两个边界点的解值（Dirichlet bc）。我正在寻找两个边界点之间的函数图。

如前所述，我决定使用有限差分，特别是中心差分方案来求解方程。然而，我很快发现问题并不像看起来那么简单。控制方程组的系数矩阵似乎是形式为的奇异 Toeplitz 矩阵

$$A = \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\right)$$

对于域中 5 个网格点的系统。在周期性边界条件的情况下，它也是循环的。

显然，当 CDS 方案用于一阶导数时，这是一个众所周知的问题。尽管如此，我还没有找到一本关于有限差分的教科书提到它。相反，人们会觉得一阶导数的 CDS 方案是每天都在使用的东西。

有谁知道以下问题的答案：

• 解决边界问题的一阶 ODE 的最常用方法是什么？
• 有没有办法解决系数矩阵的奇异性问题？
• 这个问题没有得到更多关注是有原因的吗？

编辑：第一个和最后一个问题可能可以通过这种类型的方程通常可以解析求解的事实来解释。