计算科学 - 驱动阻尼摆的四阶龙格-库塔法 - 吾爱随笔录

驱动阻尼摆的四阶龙格-库塔法

计算科学龙格库塔

2021-12-25 03:40:13

虽然我一直在到处寻找，但我一直无法找到我的问题的答案，所以就在这里。对于驱动阻尼摆，无量纲单位的运动方程为，

α (ω, θ, t) = - c ω - \sin θ + F (t) .

$\alpha(\omega,\theta,t)=-c\ \omega -\sin \theta +F(t).$

我的问题是获得我的下一步 $\omega(t + \Delta t)$ . 我知道时间该做什么 $t$ 和 $\omega$ , 但不是为了 $\theta$ . 四阶 RK 方法几乎可以在任何地方找到

ω (t + Δ t) = ω (t) + (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4}) * Δ t / 6,

$\omega(t+ \Delta t) = \omega(t) + (k_1 +2k_2 +2k_3 + k_4)*\Delta t/6,$

我对输入什么特别困惑 $\theta$ 在里面 $k_1, k_2$ . . . 计算。第一个很容易，但我不确定其余的：

k_{1} = α (ω (t), θ (t), t) k_{2} = α (ω (t) + k_{1} Δ t / 2, θ (t) + ? ? ?, t + Δ t / 2) k_{3} = α (ω (t) + k_{2} Δ t / 2, θ (t) + ? ? ?, t + Δ t / 2) k_{4} = α (ω (t) + k_{3} Δ t, θ (t) + ? ? ?, t + Δ t) .

$k_1 = \alpha(\omega(t),\ \theta(t),\ t) \\ k_2=\alpha(\omega(t) + k_1\Delta t/2,\ \theta(t) + \ ???,\ t +\Delta t/2) \\ k_3=\alpha(\omega(t) + k_2\Delta t/2,\ \theta(t) + \ ???,\ t +\Delta t/2) \\ k_4=\alpha(\omega(t) + k_3\Delta t,\ \theta(t) + \ ???,\ t +\Delta t).$

从这里解决下一个 $\theta(t+\Delta t)$ 很简单，我只需要帮助知道如何执行上述等式。似乎我见过的所有示例都仅显示了两个变量而不是三个变量的示例。

1个回答

让我们定义。那么要求解的微分方程组可以表示为： $\boldsymbol{u} = [\theta, \omega ]^{T} = [u_1, u_2]^{T}$

\begin{aligned} \dot{u} = f (t, u) = [\begin{matrix} u_{2} \\ - c u_{2} - \sin (u_{1}) + F (t) \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\boldsymbol{u}} = f(t,\boldsymbol{u}) = \begin{bmatrix} u_2 \\ -c u_2 - \sin(u_1) + F(t)\end{bmatrix} \end{align}$

因此，得到的龙格-库塔公式为：

\begin{aligned} k_{1} & = f (t_{k}, u_{k}) \\ k_{2} & = f (t_{k} + \frac{Δ t}{2}, u_{k} + \frac{Δ t}{2} k_{1}) \\ k_{3} & = f (t_{k} + \frac{Δ t}{2}, u_{k} + \frac{Δ t}{2} k_{2}) \\ k_{4} & = f (t_{k} + Δ t, u_{k} + Δ t k_{3}) \\ u_{k + 1} & = u_{k} + \frac{Δ t}{6} (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4}) \end{aligned}

$\begin{align} \boldsymbol{k}_1 &= f\left(t_k, \boldsymbol{u}_k\right) \\ % \boldsymbol{k}_2 &= f\left(t_k + \frac{\Delta t}{2}, \boldsymbol{u}_k + \frac{\Delta t}{2} \boldsymbol{k}_1\right) \\ % \boldsymbol{k}_3 &= f\left(t_k + \frac{\Delta t}{2}, \boldsymbol{u}_k + \frac{\Delta t}{2} \boldsymbol{k}_2\right) \\ % \boldsymbol{k}_4 &= f\left(t_k + \Delta t, \boldsymbol{u}_k + \Delta t \boldsymbol{k}_3\right) \\ % \boldsymbol{u}_{k+1} &= \boldsymbol{u}_k + \frac{\Delta t}{6}\left(\boldsymbol{k}_1 + 2\boldsymbol{k}_2 + 2\boldsymbol{k}_3 + \boldsymbol{k}_4\right) \end{align}$

其中和。正如nicoguaro所指出的，这只是 Runge-Kutta 方程的向量形式。它假设你的函数为你正在积分的状态接受一个向量输入。 $t_j = t_{0} + j\Delta t$ $\boldsymbol{u}_j = \boldsymbol{u}(t_{j})$ $f(\cdot,\cdot)$

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