计算科学 - 空间变通量的冯诺依曼稳定性分析 - 吾爱随笔录

计算科学稳定傅立叶分析

2021-12-02 03:34:01

我们可以使用冯诺依曼稳定性分析来研究以下问题的离散形式的稳定性吗？

u_{t} + \frac{\partial (x^{2} u)}{\partial x} = S (u, x) .

$u_t+\frac{\partial(x^2u)}{\partial x}=S(u,x)\ .$

请给出一些提示如何在上述问题中使用此分析。

2个回答

我不确定是否有严格的理由，但请考虑以下方式定义（应该定义）稳定性。随着时间和空间上的网格大小趋于零，数值解仍然有界。所以稳定性是关于精细网格上发生的事情。在精细网格上，非线性问题（例如您提供的问题）“看起来更线性”。

在非线性情况下还有其他定义稳定性的方法，例如能量稳定性。据我所知，结果总是符合冯诺依曼稳定性的。

使用链式法则将原始 PDE 重写为具有可变平流速度的非齐次平流方程：

u_{t} + x^{2} u_{x} = S (u, x) - 2 x u .

$u_t + x^2 u_x = S(u,x) - 2 x u.$

然后使用冻结系数的方法来研究相应的离散 PDE 问题的稳定性（当然要考虑您可能拥有的任何边界和初始条件）。查看这篇较早的 scicomp 帖子。这里还有一些参考资料可以帮助您入门：

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