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C++中不完全Beta函数的对数的准确实现？

计算科学数值分析 C++ C

2021-12-14 06:28:50

我需要不完整 Beta 函数的对数的准确实现（用于 C/C++）：

\log B (x, y; α, β) = \log \int_{x}^{y} t^{α - 1} (1 - t)^{β - 1} d t

$\log \mathrm{B}(x,y;\alpha,\beta) = \log \int_x^y t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\mathrm{d}t$

带域 $\alpha,\beta>0$ , $0\le x\le y \le 1$ . 我需要这个来避免不完整的 Beta 函数值非常大的溢出。

Boost 和 GSL 提供直接实现 $\mathrm{B}(x,y;\alpha,\beta)$ 或其正规化版本。这对我不起作用，因为从这些没有办法获得价值 $\log \mathrm{B}(x,y;\alpha,\beta)$ 没有经历我试图避免的大值（或者至少我不知道如何）。

有什么建议吗？

更新： 我发现它R实现了不完整 Beta 函数的对数（参见https://stat.ethz.ch/R-manual/R-patched/library/stats/html/Beta.html）。我可以在 C++ 中使用它吗？它会和原生 C 代码一样快吗？

1个回答

Boost 提供了你需要的所有功能，所以应该足够了。与其使用不完全 beta 函数的直接积分表示，不如使用正则化不完全 beta 函数（参见DLMF 8.17）：

B (x, y; a, b) = (I_{y} (a, b) - I_{x} (a, b)) B (a, b) .

$B(x,y;a,b) = (I_y(a,b)-I_x(a,b))B(a,b).$ 这边走，

I_{x} (a, b) = B (x; a, b) / B (a, b)

$I_x(a,b)=B(x;a,b)/B(a,b)$ 将有值

[0, 1]

$[0,1]$ ，以便

\log B (x, y; a, b) = \log (I_{y} (a, b) - I_{x} (a, b)) + \log B (a, b) .

$\log B(x,y;a,b) = \log(I_y(a,b)-I_x(a,b)) + \log B(a,b).$ 更容易计算。这样，假设基础函数稳定，数值不稳定的唯一来源就是减法

x

$x$ 和

y

$y$ 非常接近；在这种情况下，如果出现，直接积分表示可能会起作用。

正则化不完全 beta 函数由ibetaBoost给出，log-Beta 函数可以使用log-gamma 函数计算lgamma，同样在 Boost 中。Boost的实现 $I_x$ 基于论文算法 708： Didonato 和 Morris的不完全 beta 函数比率的有效数字计算。

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