计算科学 - 关于移动边界问题中偏微分方程的疑虑需要评论 - 吾爱随笔录

我们知道，在经典的两相 Stefan 问题中，假设在这里的冰水温度分布问题中，控制 PDE 为：

\begin{aligned} C_{1} \frac{\partial T_{1}}{\partial t} = \nabla \cdot (k_{1} \nabla T_{1}), i n Ω_{1} \\ C_{2} \frac{\partial T_{2}}{\partial t} = \nabla \cdot (k_{2} \nabla T_{2}), i n Ω_{2} \end{aligned}}

$\begin{equation} \left. \begin{aligned} C_1\frac{\partial T_1}{\partial t}=\nabla\cdot(k_1\nabla T_1),\ in\ \Omega_1\\ C_2\frac{\partial T_2}{\partial t}=\nabla\cdot(k_2\nabla T_2),\ in\ \Omega_2\\ \end{aligned} \right\} \end{equation}$ 通常也写成以下形式：

C_{i} \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k_{i} \nabla T), i n Ω,

$\begin{equation} C_i\frac{\partial T}{\partial t}=\nabla\cdot(k_i\nabla T),\ in\ \Omega,\\ \end{equation}$ 在哪里

k_{i} (C_{i}) = {\begin{aligned} k_{1} (C_{1}) i n Ω_{1} \\ k_{2} (C_{2}) i n Ω_{2} \end{aligned}

$\begin{equation} k_i (C_i)=\left\{ \begin{aligned} k_1 (C_1)\ in\ \Omega_1\\ k_2 (C_2)\ in\ \Omega_2\\ \end{aligned} \right. \end{equation}$ 这样它就变成了一个具有空间相关系数的偏微分方程，这似乎是合理的。但是在研究了这个方程之后，我发现通过这种方式我在相变界面处对温度导数施加了额外的约束。我的意思是，关于时间和空间的温度导数是不连续的，因此在原始问题的界面处没有定义。但是当将它们组合成一个单一的形式时，我认为我们隐含地违反了上述条件。因此，我认为它们不能写成第二种形式（组合形式）。

但我不确定我的观点是否有不妥之处。也许只是我想太多了？你能留下你的评论吗？欢迎任何评论！我将不胜感激！