计算科学 - 高阶有限元形状函数系数的唯一性 - 吾爱随笔录

高阶有限元形状函数系数的唯一性

计算科学有限元

2021-12-17 05:57:38

在 FEM 中，我们通常使用一个技巧来找到形状函数的系数：

发现 $M^{-1}$ 在系统中 $MC=I$ ，例如在线性情况下：

\begin{aligned} M & = [1, x_{1}, y_{1}; 1, x_{2}, y_{2}; 1, x_{3}, y_{3}], \\ C & = [a_{1}, b_{1}, c_{1}; a_{2}, b_{2}, c_{2}; a_{3}, b_{3}, c_{3}], \\ I & = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1] . \end{aligned}

$\begin{aligned} M&=[1 ,x_1,y_1;1 ,x_2,y_2;1 ,x_3,y_3],\\ C&=[a_1, b_1,c_1;a_2, b_2,c_2;a_3, b_3,c_3],\\ I&=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]. \end{aligned}$ 和

ϕ_{1} = a 1 + b_{1} x_{1} + c_{1} y_{1}

$\phi_1=a1+b_1x_1+c_1y_1$ 并且

ϕ_{2}, ϕ_{3}

$\phi_2,\phi_3$ 以同样的方式定义。自从

M C = I

$MC=I$ 所以

M

$M$ 是相反的

C

$C$ . 但是我们如何确保

M

$M$ 对于更高程度的基础是可逆的吗？

1个回答

This is ensured by choosing the degrees of freedom appropriately. （这就是为什么您需要，例如，在二次元素的三角形边缘上增加额外的自由度。）

基本上，构建（局部）有限元空间包括选择参考元素 $K$ （例如，三角形）和多项式空间 $P$ （例如，二元多项式 $K$ 总订单高达 $2$ ）。然后您需要找到一组条件（例如，在某些 $x_i\in K$ ) 使插值问题“给定 $f\in C(K)$ ，找 $p\in P$ 这样 $p(x_i) = f(x_i)$ 对所有人 $i$ ” 有一个独特的解决方案——这些就是你在每个元素上需要的自由度。

那么矩阵就是一个线性代数定理 $M$ （称为Vandermonde 矩阵）总是可逆的。（请注意，您的等式 $MC=I$ 只是编写节点插值条件的一种紧凑方式 $\phi_i(x_j,y_j) = \delta_{ij}$ .)

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