计算科学 - 如何避免寄生振荡 1D FEM Neumann BC - 吾爱随笔录

计算科学有限元

2021-12-17 05:45:50

我正在尝试使用 1-D FEM 以数值方式求解 Lamm eqn。我观察到的是一个边界（）处的虚假振荡，这很快导致整个范围内的值不合理。我正在寻找有关如何修改 FE 公式以消除这些振荡的建议。 $r_b$

Lamm eqn 为 J 其中是沉降系数，是扩散系数，而是角速度。边界条件是通量。对于简单的情况，和是常数，但它们也可能是的函数。是一个“源函数”，但在我们的例子中它是 0。初始条件通常是 = 常数。

\frac{\partial C}{\partial t} + \frac{1}{r} \frac{\partial (r J)}{\partial r} = Q, r_{a} \leq r \leq r_{b},

${\partial C \over \partial t} + {1\over r}{\partial (r J) \over \partial r}=Q, \ \ r_a\leq r\leq r_b,$

J = s ω^{2} r C - D \frac{\partial C}{\partial r}

$J=s \omega^2 r C - D {\partial C \over \partial r}$

s

$s$

D

$D$

ω

$\omega$

J (r_{a}, t) = J (r_{b}, t) = 0

$J(r_a,t) = J(r_b, t)= 0$

s

$s$

D

$D$

C

$C$

Q

$Q$

C

$C$

当前的 FEM 公式使用分段线性（“帽子”）函数在空间中进行离散化，并使用隐式方法从 ) 。 $C(t+\Delta t)$ $C(t)$

编辑：典型值为 =5.9, =7.2, =1, , ,。 $r_a$ $r_b$ $C_0$ $s=4\times 10^{-13}$ $\omega^2=2.7\times 10^7$ $D=3.6\times 10^{-7}$

成正比。 $\exp(r^2)$

1个回答

Lamm 方程是对流扩散偏微分方程的一个具体例子。你可以找到许多关于这个方程数值解的困难的参考资料（例如Leveque）。

由于数值方法的特性，在边界附近的解中的振荡是一个常见问题。理解振荡可能性的一个关键参数是网格 Peclet 数，由下式给出

P = \frac{s ω^{2} r Δ x}{2 D}

$P = \frac{s\omega^2r\Delta x}{2D}$ 其中是网格间距。时，几乎总是会发生振荡。对于您提供的 Lamm 方程和常数，对于合理的网格，这个数字是。然而，由于边界条件，特别是在右端，解中存在非常陡峭的梯度。这与即使是中等的佩克莱特数一起也是造成那里振荡的原因。

Δ x

$\Delta x$

> 1

$>1$

< 1

$<1$

显而易见的解决方案是细化网格以减少 Peclet 数。这可以不均匀地完成，例如，网格在右端更加精细。通常，这会产生一个计算成本太高而无法求解的模型，但这里的情况似乎并非如此。

另一种选择是人为地增加的值。其中一条评论建议改用前向差分（逆风）有限差分法。的不幸副作用，因此与精确相比，该解决方案非常“模糊”。在有限元法中，直接稍微增加就可以达到同样的效果。 $D$ $D$ $D$

通过简单的网络搜索，我能够找到许多与您感兴趣的特定应用的 Lamm 方程的数值解相关的论文。其中许多描述了使用基本 FE 方法解决这个问题的困难，并提出了更多复杂的替代方案，如移动网格方法，来克服这些问题。我认为刘和陈的这本书在这方面做得特别好。

二节点有限元和隐式时间积分算法计算了您的方程的以下解。如您所见，对于这些参数和这种级别的网格细化，右端没有明显的振荡。 $500$

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