计算科学 - 将核范数约束转换为 LMI 约束 - 吾爱随笔录

将核范数约束转换为 LMI 约束

计算科学 Python 凸优化半定规划

2021-12-26 05:44:37

我正在尝试解决其中一个约束条件为的凸优化问题

‖ M ‖_{*} \leq a

$\|M\|_* \leq a$

其中 $\|M\|_*$ 表示矩阵 $M$ 的核范数。我在 Python 中使用CVXOPT将其作为线性程序 (LP) 来解决，但核范数（奇异值之和）不是一个很好的线性约束。我该如何制定这个？

1个回答

引用迈克尔格兰特 [MG'14]：

核范数不等式当且仅当存在对称矩阵 ,满足 $\|X\|_*\leq y$ $W_1$ $W_2$

$[\begin{matrix} W_{1} & X \\ X^{T} & W_{2} \end{matrix}] ⪰ 0, Tr W_{1} + Tr W_{2} \leq 2 y$ $\begin{bmatrix} W_1 & X \\ X^T & W_2 \end{bmatrix} \succeq 0, ~ \mathop{\textrm{Tr}}W_1 + \mathop{\textrm{Tr}}W_2 \leq 2 y$

这里，应该被解释为意味着块矩阵是半正定的。由于这种转换，您可以在任何半定编程设置中处理核范数的最小化或核范数的上限。 $\succeq 0$ $2\times 2$

请注意，CVXOPT有一个半定规划 (SDP) 求解器。

[MG'14] Michael Grant，关于其论点的核范数的导数，数学堆栈交换，2014 年 3 月。

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