计算科学 - 非线性函数的数值微分 - 吾爱随笔录

计算科学有限差分准确性

2021-12-19 10:15:19

在我为计算编写代码的过程中，我遇到了一个问题，即在网格上的不同点对非线性函数进行数值微分。我使用简单的前向有限差分法来区分函数，但是当我知道计算的解析解时，误差很大。

所以为了更好地理解我数字区分的问题 $f(x)=1/x$ 因为已知解析解是 $f'(x)/=-1/x^2$ . 所以我试图计算数值和解析导数之间的误差 $f(x)$ 并针对不同的值绘制误差与步长的关系 $x$ . 结果作为图片附加（两个轴都是对数的！）。

从图中可以看出，对于 stepsize 的最小值，错误是显着事件，当 $x$ 是小。现在这对我来说很有意义，因为随着函数的减小，直线逼近会变得越来越非线性 $x$ .

所以我的问题是，除了有限差分法之外，有没有更好的方法在函数域上对非线性函数进行数值微分？我需要数值区分的函数是多变量函数，但该方法可以很容易地从单变量函数扩展到我想的多变量函数。

2个回答

您在导数中缺少减号， $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ .

第一次订购的错误 $h$ 是

\frac{f (x + h) - f (x)}{h} - f^{'} (x) \approx \frac{h}{x^{3}}

$\frac{f(x+h)-f(x)}{h} - f'(x)\approx \frac{h}{x^3}$ 据我所知，这与您的数据相符。如果

x

$x$ 很小，对于固定而言，这可能是一个非常大的数字

h

$h$ . 因此，您的问题纯粹是数学问题，而不是由于您的实现错误或数值舍入问题。

问题当然是 $f(x)$ 发散为 $x\to 0$ .

您可以通过以下方式处理此类问题（建议不限于您的具体情况 $1/x$ 或数值微分，但通常是在数值上处理“丑陋”且表现不佳的函数）：

将函数转换为更好看的函数（没有分歧等）；在这种特定情况下，您可以乘以 $x$ 要得到 $g(x)=f(x)x$ , 区分 $g(x)$ 数字并使用它 $f'(x)=(g'(x)-f(x))/x$ . 另一种可能的变换可能是，如果你正在处理一个复杂的函数 g(x)，你知道它的渐近行为 $x=0$ 像是 $1/x$ （或您可以分析处理的任何其他简单函数），您可以改为使用不具有奇点的 g(x) - 1/x。

要么

选择一个足够小的 $h$ ，也许是自适应的（越接近分歧越小）；最终，如果您太接近 0，您将遇到精度或舍入问题，因此仅此方法不会让您一直走到奇点，但如果您对远离奇点的值感到满意，它就足够了。

要么

要么

要么

要么

这个问题的答案取决于你真正对区分哪种功能感兴趣。也就是说，我将在这里给出一个基本的、一般的答案。

正如已经指出的，您正在使用有限差分公式

f^{'} (x) \approx \frac{f (x + h) - f (x)}{h} .

$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$

精确到一阶（即误差与 $h$ ）。有两种简单的方法可以提高准确性。如您所知，第一个是减少 $h$ . 唯一的问题是对于非常小的 $h$ ，舍入误差会变得很大（您的绘图中没有接近如此小的值）。获得更准确近似值的另一种一般方法是使用具有更高精度的公式。例如，居中的公式

f^{'} (x) \approx \frac{f (x + h) - f (x - h)}{2 h}

$f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$

精确到二阶（即误差与 $h^2$ ）。为了更好地理解导数的有限差分近似及其准确性，请阅读任何介绍性数值分析书籍，甚至只是Wikipedia。我特别喜欢LeVeque 文本的第一章。

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