标准 beta 分布是有界的 beta 分布$(0, 1)$区间，所以也就是我们在说beta 分布时一般所指的。如果 Beta 有其他界限，则它不是标准的，有时表示为$a$和$b$（下限和上限），您可以在此处找到一些信息。

所以概率密度函数的一般形式是

$$f(x) = \frac{(x-a)^{\alpha-1}(b-x)^{\beta-1}} {\mathrm{B}(\alpha,\beta) (b-a)^{\alpha+\beta-1}}$$

而在大多数情况下，我们指的是标准测试版，即

$$f(x) = \frac{x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}} { \mathrm{B}(\alpha,\beta)}$$

如果$X$beta 是有界分布的$a$和$b$，那么您可以将其转换为标准的 beta 分布变量$Z$通过简单的归一化

$$Z = \frac{X-a}{b-a}$$

将标准 beta 反向转换为 beta 也很容易$a$和$b$界于

$$X = Z \times (b-a) + a$$

因此，要计算非标准 beta 的 pdf、cdf 或随机数生成，您只需要 beta 分布的基本函数和公式。如果您想将标准 beta 的密度函数与非标准 beta 一起使用，请记住对密度进行归一化，即$f(\frac{X-a}{b-a})/(b-a)$.

在大多数情况下，提到 beta 分布的人们都在谈论标准的 beta 分布。如果分布有不同的界限$(0, 1)$，比它显然不是标准测试版，所以应该从上下文中清楚。