机器算法验证 - 从上方/下方观察中估计分布 - 吾爱随笔录

让 $P$ 是一个未知分布 $(-\infty,\infty)$ . 让 $X_1,\ldots,X_n$ 是一个独立同分布样本 $P$ . 让 $c_1,\ldots,c_n\in(-\infty,\infty)$ 是一组已知的常数。我们观察 $Y_1,\ldots,Y_n$ ，在哪里 $Y_i = 1(X_i < c_i)$ . （那是， $Y_i=1$ 如果 $X_i<c_i$ 并且是 $0$ 否则。）我正在寻找一些“合理”的分布估计 $P$ .

我所说的“合理”是什么意思？为简单起见，假设 $P$ 在 [0,1] 上受支持，并且 $c_i$ 是来自 Uniform[0,1] 的 iid 样本。 $P$ 可能有原子，但如果它邀请更多答案，我们可以忽略它。

称呼 $\hat{P}_n$ 一个“合理的”估计 $P$ 如果，有概率 $1$ 在选择的 $c_i$ 的， $\hat{P}_n$ 收敛到 $P$ 在分布。

注意：我们实际上可以考虑 $c_i$ 作为可以由实验者选择的设计点。这似乎是一个单独的问题，我不想使问题复杂化。但是，如果您有一个估计器需要一组特定的 $c_i$ 的，那也很好。

ci = seq(from=-3,to=3,length=500) X = rnorm(500) Y = rep(NA, 500) for (i in 1:500) Y[i] = as.numeric(X[i] < ci[i] ) plot(ci,Y, type="s") library(mgcv) library(boot) fit=gam(Y~s(ci), family=binomial(link="logit")) plot(fit, trans=inv.logit, shade = TRUE)

library(scam) fitMonotone=scam(Y~s(ci,bs="mpi"), family=binomial(link="logit")) InvLogit = function(x, SCALE=TRUE) { if (SCALE) x = x -mean(x) return(exp(x)/(1+exp(x))) } plot(fitMonotone, trans=InvLogit, shade = TRUE)