机器算法验证 - 这些随机变量是否满足林德伯格条件？ - 吾爱随笔录

机器算法验证随机变量收敛中心极限定理指示函数

2022-04-03 04:15:33

我有以下序列：

我必须证明他们是否满足林德伯格的条件，但这个条件对我来说有点不清楚。

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{s_n^2} \sum^{n}_{k=1} \mathbb{E} [(X_k -\mu_k)^2 \cdot \mathbb{1}_{|X_k-\mu_k|>\epsilon s_n}]=0$

对于所有 $\epsilon >0$ 。

rv-s 的期望值为 $0$ 。

第一种情况下的方差： $n^2$ ，第二种情况下 $2^n$ 。

在这两种情况下，方差的总和都趋于无穷大。这还不足以让条件变为零吗？

而且我真的不明白指标函数中的那个表达式。

我很感激任何帮助！

1个回答

我将从一些指导开始，也许稍后再回来完成答案。

考虑第一个随机变量序列，注意。换句话说，对于给定，随机变量的绝对值是一个常数函数（对于对称于零的二分随机变量来说总是如此）。 $|X_n| = n$ $n$

另外，

s_{n}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} σ_{k}^{2} = 1 + 2^{2} + 3^{2} + . . . + n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} = O (n^{3})

$s^2_n = \sum_{i=1}^n\sigma^2_k = 1+2^2+3^2+...+n^2 =\frac {n(n+1)(2n+1)}6 = O(n^3)$

那么一些的指示函数变为 $k$

1_{{k > ϵ {(\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6})}^{1 / 2}}}

$\mathbb{1}_{\left\{k>\epsilon \left(\frac {n(n+1)(2n+1)}6\right)^{1/2}\right\}}$

这里没有任何随机性，因此可以将其从预期值中取出，作为确定性函数。

你能从这里拿走吗？

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