出现混合（连续和有限支持）分布的典型示例是审查：最简单的模型是有一个连续变量，例如$x\sim\text{N}(\mu,\sigma^2)$观察到，除非它大于一个固定值，比如说$\omicron$，在这种情况下，界$\omicron$被报道。在这种情况下，报告的随机变量的密度是根据包括 Lebesgue 测量的测量来定义的$\mathbb{R}$ 和狄拉克质量$\omicron$，这是一个度量，给出一个质量$1$到任何包含$\omicron$和$0$否则。关于这个主要的测量，密度是

$$\begin{align*} f(x|\mu,\sigma,\omicron) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\{-(x-\mu^2)/2\sigma^2\}\\ & + \int_{\omicron}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\{-(y-\mu^2)/2\sigma^2\}\,\text{d}y\,\mathbb{I}(x=\omicron) \end{align*}$$ 这涉及一个指标，而不是狄拉克质量。

狄拉克$\delta$函数为零，除了一点，它是无限的。它与积分一起使用，如果包含特殊点，则定义为积分为 1。这样做的效果是通过积分“拉”特定的点值。

这使您可以将概率权重分配给精确的点值。@Xian 的回答有一个很好的例子说明你为什么会这样做。

从技术上讲，它不是一个实值函数，也不适用于积分的正常定义——即黎曼和勒贝格测度。把它写成积分内的函数很方便。

在你的例子中，$d_0$是零时的狄拉克三角函数，这意味着$\int_X f(y)\delta_0(y)$是$f(0)$- IE$e^{−L}$在您的示例中-如果在集成区域内为零$X$, 否则为 0。