您没有将均值定义为自由度 (df) - 它遵循 pdf 的定义和随机变量的期望定义。

卡方随机变量的 pdf$k$df 是：

${\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\; x>0, k>0$ （和$0$别处）

连续随机变量的期望为：

$\operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x.$

所以卡方随机变量的均值是：

$\operatorname {E} [X]=\int _{0}^{\infty }x{\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,\mathrm {d} x$

拉出常数并结合$x$权力

${\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\; \int _{0}^{\infty }x^{{\frac {k+2}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,\mathrm {d} x$

积分中的项可以被识别为另一个卡方（缺少归一化常数）。如果您乘以相关的归一化常数并除以使积分为 1，那么您会在前面留下一个归一化常数的比率（对于不同的 df）......您应该能够简化它。

但是，如果您的问题真的是“为什么选择将该 pdf 称为卡方？”，whuber 的评论是相关的 - 独立标准法线的平方和是一个随机变量，在许多情况下相当自然地出现* ，这就是我们想要命名的东西。自由度与所涉及的独立法线的数量有关，每个平方分量的平均值为 1。

* 例如，Helmert将其识别为与来自正态分布的 iid 样本的样本方差分布有关（尽管使用了符号$\chi^2$因此直到皮尔逊大约一代人的工作才出现“卡方”这个名字）。

卡方分布是带参数的 Gamma 分布$(\lambda, \alpha) = (\frac12, \frac{n}2)$.

我们知道 Gamma 的期望值为$\frac{\alpha}{\lambda}$.

因此，卡方 rv 的期望值为$\frac{n/2}{1/2} = n$.