在许多情况下，自由度都是非整数的。实际上，在某些情况下，您可以确定适合某些特定模型的数据的自由度必须介于某个值之间$k$和$k+1$.

我们通常认为自由度是自由参数的数量，但有些情况下参数不是完全自由的，因此很难计算。例如，在平滑/正则化时可能会发生这种情况。

局部加权回归/内核方法和平滑样条曲线的例子就是这种情况的例子——自由参数的总数不是你可以通过添加预测变量轻易计算出来的，因此需要更一般的自由度概念。

在部分基于的广义加法模型中gam，Hastie 和 Tibshirani (1990) [1]（实际上在许多其他参考资料中）对于我们可以编写的一些模型$\hat y = Ay$, 自由度有时被认为是$\operatorname{tr}(A)$（他们还讨论$\operatorname{tr}(AA^T)$或者$\operatorname{tr}(2A-AA^T)$）。第一个与两者都起作用的更常见的方法一致（例如，在回归中，在正常情况下$\operatorname{tr}(A)$将是的列维度$X$）， 但当$A$是对称和幂等的，这三个公式都是一样的。

[我手头没有这个参考资料来检查足够的细节；同一作者（加上弗里德曼）的另一个容易掌握的替代方法是统计学习元素[2]；参见例如方程 5.16，它将平滑样条的有效自由度定义为$\operatorname{tr}(A)$（在我的符号中）]

更一般地说，Ye (1998) [3] 将广义自由度定义为$\sum_i \frac{\partial \hat y_i}{\partial y_i}$，这是拟合值对其相应观察值的敏感性之和。反过来，这与$\operatorname{tr}(A)$该定义适用的地方。要使用 Ye 的定义，您只需能够计算$\hat y$并对数据进行少量扰动（为了计算$\frac{\partial \hat y_i}{\partial y_i}$数字）。这使得它的应用非常广泛。

对于由 拟合的模型gam，这些各种度量通常不是整数。

（我强烈建议阅读这些参考资料对这个问题的讨论，尽管在某些情况下故事会变得相当复杂。参见，例如 [4]）

[1] Hastie, T. 和 Tibshirani, R. (1990)，伦敦
广义加法模型
：Chapman 和 Hall。

[2] Hastie, T.、Tibshirani, R. 和 Friedman, J. (2009)，
统计学习的要素：数据挖掘、推理和预测，第二版
Springer-Verlag。
https://statweb.stanford.edu/~tibs/ElemStatLearn/

[3] Ye, J. (1998)，
“On Measurement and Correcting Effects of Data Mining and Model Selection”
美国统计学会杂志，卷。93，第 441 号，第 120-131 页

[4] Janson, L.、Fithian, W. 和 Hastie, T. (2013)，
“有效的自由度：一个有缺陷的隐喻”
https://arxiv.org/abs/1312.7851