编辑：我强烈建议你买一本新书来学习，因为这本书看起来很垃圾。首先，有一个严重的错字：估计的积分应该是，正如在所提供的解释中可以清楚地看到的那样。其次，期望不是无限的，它根本不存在，就像在柯西随机变量的情况下一样。$\int_{-\infty}^\infty xf(x)dx$

在其最基本的形式中，MC 积分抽取随机样本使得：$x_i$

$$\frac{(b-a)}{N}[g(x_1)+\cdots+g(x_N)]\approx \int_{a}^{b} g(x)dx.$$

这里被绘制在中，例如作为均匀分布。当区间无限大时，我们可以将其截断为有限区间并依靠尾积分较小。最后一句翻译为。$x_i$$[a,b]$$\int_{-\infty}^ag(x)dx+\int_b^\infty g(x)dx<\infty$

请注意，上面的表达式恰好是其中来自。因此，您需要期望是有限的。$(b-a)E[g(X)]$$X$$[a,b]$

当期望存在但方差不存在时，没有很好的方法在积分的 MC 估计上放置误差线。

因此，在您的情况下，和上述方法失败，因为的尾积分不是有限的。$g(x)=xf(x)$$xf(x)$

就您所说的蒙特卡洛积分而言，可能需要对这个问题提出警告。

您想使用 Monte Carlo 来估计，我们知道这个量是 1。一种方法是找到这样的 pdf g您可以从中采样，然后$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$$g(x)$$g$

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}g(x)dx = E_g \left[\dfrac{f(x)}{g(x)} \right].$$

所以你可以 ,个数字，然后计算$N$$g$$x_1, \dots, x_N$

$$\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\dfrac{f(x_i)}{g(x_i)} \approx \int_{-\infty}^{\infty} f(x) .$$

因此，您对的选择将导致不同的估计量。@Alex R. 在他们的回答中使用了均匀分布 pdf $g$

$$g(x) = \dfrac{1}{b-a} I_{a < x<b}.$$

但是，在这种情况下，您是从整条实线的均匀分布中采样，并且这种分布不存在，因此不能是均匀分布的 pdf。$g$

的蒙特卡洛估计。在这里，我使用作为的 pdf ，其中是方差。$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)$$g$$N(0,100)$$100$

set.seed(1)
N <- 1e4
f <- function(x)
{
  y <- ifelse(abs(x) > 4, 1/x^2, 1/16)
  return(y)
}
# Draws from g
prop <- rnorm(N, 0, 10)
#Evaluate g(x)
g_prop <- dnorm(prop, 0, 10)
#Evaluate f(x)
f_prop <- f(prop)

mc_est <- sum(f_prop/g_prop)/N
mc_est
[1] 0.9502994

我可能可以使用更好的来获得更好的估计，但看起来蒙特卡洛积分是可能的。也许问题想说“......估计的值”。在这种情况下，蒙特卡罗是不可能的，因为您要估计的数量不存在。$g$$\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$