如果您只有矩序列，则 -th 矩不一定由它们确定。$\frac12$

如果 MGF 存在于零附近，则矩序列将确定分布，并且应确定$\frac12$

但是，如果您有 pdf，我们可以避免所有这些，因为我们可以尝试直接计算（例如，通过计算积分 -- I假设在非负半线上，原因很明显）。还要注意的分布很容易写下来（如果和 )。例如，如果我们将密度视为标准密度 - 以这种方式识别期望可能会非常快。$E(X^\frac12)$$\int_0^\infty x^\frac12 f(x) dx$$X$$\sqrt{X}$$Y=\sqrt{X},\, F_Y(y)=F_X(y^2)$$f_Y(y)=2yf_X(y^2)$

正如 whuber 在评论中指出的那样，我们只需要找到，因为 .$E(\sqrt{X})$$\text{Var}(\sqrt{X})=E(X)-E(\sqrt{X})^2$

如果你只对期望的上界感兴趣，你可以使用 Jensen 不等式立即上界$E[\sqrt{X}] \leq \sqrt{E[X]}$， 如果$E[X]$足够接近1，近似值会很好..

否则，近似期望的标准工具是使用泰勒级数$y = X-1$, $\sqrt{1+y} = 1 - y/2 + y^2/8 - y^3/16 + 5y^4/128 \dots$

既然你已经有了 MGF$X$，您应该能够快速计算...