让我们看一个稍微更一般的输入信号

$$x(t)=\sin(\omega_0t)u\left(t-\frac{\theta}{\omega_0}\right),\qquad\theta\in [-\pi,\pi)\tag{1}$$

很容易证明理想积分器对输入的响应$(1)$是（谁）给的

$$y(t,\theta)=\frac{\cos(\theta)-\cos(\omega_0t)}{\omega_0}\tag{2}$$

响应$y(t,\theta)$总是由一个时间相关的组件组成$-\cos(\omega_0t)/\omega_0$和一个 DC 项$\cos(\theta)/\omega_0$, 这在$-1/\omega_0$和$1/\omega_0$，取决于打开正弦曲线的时间。因此，无论多大$t$变为，对切换正弦波的所有响应的共同分量始终是时间相关部分，而不是 DC 项。

对正弦曲线的理想响应从$-\infty$到$\infty$仅由所有对切换正弦波的响应所共有的时间相关分量组成。您可以将此响应想象为平均$(2)$通过积分得到$\theta$：

$$\tilde{y}(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}y(t,\theta)d\theta\tag{3}$$

有关计算理想积分器对正弦输入的响应的一些讨论，请查看此问题及其答案。