信息处理 - Wiener-Khinchin-Einstein 定理是否适用于非高斯过程？如果是这样，有什么假设吗？ - 吾爱随笔录

信息处理功率谱密度自相关高斯

2022-02-05 20:41:41

Wiener-Khinchin-Einstein 定理指出自相关(和谱密度是傅里叶对偶，即 $(r_{xx}(\tau))$ $(S(f))$

r_{x x} (τ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} S (f) \exp (2 π i τ f) d f

$r_{xx}(\tau) = \int^{+\infty}_{-\infty} S(f) \exp\left( 2\pi i \tau f \right)\:df$

这种关系有几个假设：

-该过程必须是静止的，即空间相关性仅取决于两点之间的距离（）而不是方向（）。对于高斯过程，这要求一阶和二阶矩是静止的。 $\tau$ $\vec{\tau}$

我的问题是：

这种关系是否适用于非高斯过程？
如果是这样，是否对其使用有任何假设或限制？因为如果它适用于非高斯过程，它是否足以满足弱平稳性或广义平稳性，即只有一阶和二阶矩需要是平稳的，高阶矩可以是非平稳的，还是有更严格的条件？我的直觉是前者，因为等式不需要更高阶的信息，但我不确定是否是这种情况。

1个回答

维基百科文章的第一句话：

在应用数学中，Wiener-Khinchin 定理，也称为 Wiener-Khinchin 定理，有时也称为 Wiener-Khinchin-Einstein 定理或 Khinchin-Kolmogorov 定理，指出广义平稳随机过程的自相关函数具有由该过程的功率谱给出的谱分解。

（我强调）

因此，这与高斯与否无关，这与您的过程的平稳性有关——对于每个时间点都是高斯的过程不一定是广义平稳的。

例如，如果您有一个随机信号，其幅度在每个瞬间均呈正态分布，但其方差随时间呈指数下降，则不能应用 Wiener-Khinchin 定理。

另一方面，如果您有一个过程实际上只采用离散值和，但以恒定概率这样做，那么您可以应用 Wiener-Khinchin 定理。 $-1$ $1$

所以：

这种关系是否适用于非高斯过程？

是的。

如果是这样，是否对其使用有任何假设或限制？

正如您所注意到的，实际的限制是广义的平稳性：

因为如果它适用于非高斯过程，它是否足以满足弱平稳性或广义平稳性，即只有一阶和二阶矩需要是平稳的，高阶矩可以是非平稳的，还是有更严格的条件？

嗯，这并不是我想到的 WSS 的定义：

弱感平稳意味着自协方差仅取决于时间差，而不取决于绝对时间。这也意味着零偏移的自协方差，即。是常数，考虑到这是能量的两个表达式，只有第一矩是常数时才会发生。 $E[x(t)x(t)]-\mu(t)\mu(t)$ $\mu$

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