信息处理 - 阶跃和积分的拉普拉斯是一样的吗？ - 吾爱随笔录

信息处理拉普拉斯变换证明

2022-01-29 20:04:35

为什么我们有阶跃函数的拉普拉斯变换和积分器是一样的。

\begin{aligned} L [u (t)] & = \frac{1}{s} \\ L [\int d t] & = \frac{1}{s} \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal L\left[u(t)\right] &= \frac 1s\\ \mathcal L \left[ \int dt\right] &= \frac 1s \end{align}$

请清除我对此的怀疑。

1个回答

这是因为积分器的脉冲响应是。与脉冲响应卷积的输出是和它变成其中是由于传递函数（即脉冲响应的拉普拉斯变换）为 $h(t)=u(t)$

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$

h (t) = u (t)

$h(t)=u(t)$

\begin{aligned} y (t) & = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) u (t - τ) d τ \\ (1) & = \int_{- \infty}^{t} x (τ) d τ \end{aligned}

$\begin{align} y(t)&=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)u(t-\tau)d\tau\\ &=\int_{-\infty}^{t}x(\tau)d\tau\tag{1}\end{align}$

(1)

$(1)$

u (t - τ) = {\begin{cases} 0 & \forall τ > t \\ 1 & otherwise \end{cases}

$u(t-\tau)=\begin{cases}0& \forall \tau>t\\ 1 & \text{otherwise}\end{cases}$

H (s) = L {h (t) = u (t)} = \frac{1}{s}

$H(s)=\mathcal{L}\{h(t)=u(t)\}=\frac{1}{s}$

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