信息处理 - 加窗傅里叶变换 - 吾爱随笔录

信息处理傅里叶变换窗函数 stft

2022-02-06 19:48:58

我需要一些帮助来应用傅立叶变换的属性。

的加窗傅里叶变换定义为 $f \in L^2(R)$

S f (μ, ξ) = \int_{R} f (t) g (t - μ) e^{- i ξ t} d t

$Sf(\mu,\xi)=\int_\mathbb{R}f(t)g(t-\mu)e^{-i\xi t}dt$

证明对于，我们有 $f=e^{i\eta_0t}$ $Sf(\mu,\eta)=e^{-i\mu(\eta-\eta_0)}\hat{g}(\eta-\eta_0)$

到目前为止，我能得到的只有这个。

S f (μ, η) = \int_{R} e^{i η_{0} t} g (t - μ) e^{- i η t} d t = \int_{R} e^{- i t (η - η_{0})} g (t - μ) d t

$Sf(\mu,\eta)=\int_\mathbb{R}e^{i\eta_0t}g(t-\mu)e^{-i\eta t}dt=\int_\mathbb{R}e^{-it(\eta-\eta_0)}g(t-\mu)dt$

我知道我需要应用傅立叶变换的一些属性，但我不确定如何。提前致谢。

2个回答

暗示：

只需在积分中替换，看看你得到了什么。这只是非常基本的数学运算，没有傅里叶变换的复杂属性。我假设您知道的定义。 $\tau=t-\mu$ $\hat{g}(\eta)$

一方面，不在中。但是如果对做出温和的假设，事情就会变得平淡无奇（权力规范的双关语，被否决）。使用标准积分工具，提示在 Matt L.的答案中。 $f=e^{i\eta_0 t}$ $L_2(\mathbb{R})$ $g$

其次，这是傅里叶变换中调制/移位属性的基本实例：如果您选择，听起来您正在计算移位和调制窗口。所以如果你知道的傅里叶变换，你可以使用： $f=e^{i\eta_0 t}$ $e^{i\eta_0 t}g(t−\mu)$ $\hat{g}$ $g(t)$

平移/时移：对于任何实数，如果，则。 $x_0$ $u(x) = v(x - x_0)$ $\hat{u}(\xi) = e^{-2i \pi x_0 \xi} \hat{v}(\xi)$
调制/频移：对于任何实数，如果，则。 $\xi_0$ $u(x) = e^{2 i\pi \xi_0} v(x)$ $u(\xi) = \hat{v}(\xi - \xi_0)$

现在，结合两个傅立叶性质。

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