数学和物理不是一回事。它们可以非常接近，但难以实现无穷大。从模拟到数字，更准确的描述是在一个小时间窗口内对波形进行平均，然后对平均值进行量化。滤波器没有无限阻带，但 80 dB 通常已经足够了。总是有一个小错误，但可以约束它。

通过允许一点误差，您可以避免使用有限长度的滤波器，它在频域中引入的误差比直接对信号进行采样而不先滤波更小。

这是一个使用有限脉冲响应 (FIR) 加窗 sinc 滤波的示例，它与 sinc 滤波和矩形脉冲的直接采样进行了比较。矩形脉冲的长度为 10，sinc 的截止频率为。窗函数是 Blackman-Nuttall，在 sinc 的临界采样频率处长度为 12 个采样周期。$\pi$

图 1. Sinc（红色）和加窗 sinc（蓝色）滤波器脉冲响应。

图 2. 矩形脉冲（灰色），使用 sinc（红色）和加窗 sinc（蓝色）滤波器进行滤波。两种滤波方式都会在脉冲中引入时域误差。

图 3. 用 sinc（红色，在处进入）和加窗 sinc（蓝色）滤波器过滤的矩形脉冲（灰色）的功率谱。以分贝为单位的纵轴。$-\infty\text{ dB}$$\omega = \pi$

的频率，Sinc 滤波器完全没有频域误差。加窗 sinc 滤波器在低于约 2（通带）的频率下几乎没有误差，在高于约 5（阻带）的频率下具有非常高的衰减。$\pi$

假设感兴趣的信号低于频率 2，我们以采样频率 7 对加窗 sinc 滤波信号进行采样。3.5 和 5 之间的频率将混叠到频率 3.5 和 2 之间。只有大大衰减的阻带混叠到兴趣带，引入很少的错误。所以在这种情况下，我们可以使用有限长度的滤波器和有限的采样频率。如果我们直接对矩形脉冲进行采样，那么感兴趣的频带就会出现大量混叠。

要继续不同的方面，请考虑我们要测量脉冲的开始时间。如果我们不进行低通滤波，则从一个采样时间到下一个采样时间之间的所有开始时间都将产生相同的采样信号。如果我们使用低通滤波器，则可以通过增加滤波器长度以任意精度解析开始时间，因为当 FIR 滤波器长度接近无穷大时，测量的开始时间误差将接近零。因此，即使滤波器不完美，低通滤波器也是值得的。