信息处理 - 在 Matlab 上应用 DFT（仅公式）和 FFT 的结果不同？ - 吾爱随笔录

在 Matlab 上应用 DFT（仅公式）和 FFT 的结果不同？

信息处理 matlab fft 采样自由度

2022-02-22 16:08:08

在傅立叶变换后，我在时域和频域中有这个函数：

s_{1} (t) = (t - 2) e^{- t} u (t - 2)

$s_1(t) = (t-2)e^{-t}u(t-2)$

S_{1} (f) = \frac{e^{- 2 (1 + j 2 π f)}}{(1 + j 2 π f)^{2}}

$S_1(f)=\frac{e^{-2(1+j2\pi f)}}{(1+j2\pi f)^2}$

首先，我分别创建一个时间向量和一个频率向量，范围为 [0s,8s) 和 [-50hz,50hz) 并使用这些行在我的函数上评估它们：

s1=(t1-2).*exp(-t1).*heaviside(t1-2);  %s1(t)
S1f=(exp(-2*(1+(2*pi*f1*1i)))./((1+(2*pi*f1*1i)).^2));  %S1(f)

我在绘制幅度/相位时得到的是：

之后，我想在 Matlab 中使用 FFT 命令比较这些结果，所以我这样做了：

S1k=fft(s1);
figure % creates a figure
subplot(2,1,1)     %creates a grid of 2 plots in one figure, selecting the   stem as the first plot
stem(k1,abs(fftshift(S1k,2)),'red') %plots magnitude of S1f
title('Magnitude vs Frequency')
subplot(2,1,2)      %selects the phase plot as the second one in the grid
plot(k1,angle(fftshift(S1k,1)),'blue') %plots magnitude of S1f

标题（“相位与频率”）

结果，令我惊讶的是：

如您所知，这两个图有很多差异，尽管“形状”至少在幅度图中是相似的，但在 y 轴上具有不同的值。

可能是什么问题？我确信我手动进行的傅立叶变换很好，但结果却不同。

为什么？FFT和DFT除了计算速度不一样吗？

任何提示将不胜感激。

1个回答

快速傅里叶变换 (FFT) 是一类有效实现离散傅里叶变换 (DFT) 的算法。但是，您手动计算的是连续时间傅里叶变换 (CTFT)，它与 DFT 大不相同。DFT 应用于有限长度离散时间序列，而 CTFT 应用于可能无限持续时间的连续时间函数：

\begin{aligned} X [k] & = \sum_{n = 0}^{N - 1} x [n] e^{- j 2 π k n / N} & (DFT) \\ X (j ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t & (CTFT) \end{aligned}

$\begin{align}X[k]&=\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn/N}\quad&\text{(DFT)}\\ X(j\omega)&=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt\quad&\text{(CTFT)}\end{align}$

但是，您可以使用 DFT 来近似计算 CTFT，但总会出现以下两个错误中的至少一个（通常两者都有）：

截断错误：如果信号太长（或在您的示例中具有无限持续时间），则必须将其截断以适合 DFT 窗口。
混叠误差：必须对连续时间的信号进行采样，采样通常会引入混叠，除非信号是带限的并且满足采样定理。

由于您示例中的信号既不受频带限制也不受时间限制，您将得到上述两个错误。

有关通过 DFT 逼近 CTFT 的更多信息，请参阅此答案。

以下 Octave 脚本显示了近似值如何适用于您问题中的示例。

% 选择参数（采样频率和时间间隔）
Fs = 50; ％ 采样频率
T1 = 2; % 下限和上限
T2 = 20；% 积分限制

Ts = 1/Fs；
DT = T2 - T1；
N = 轮次（DT/Ts）；% DFT 长度

[T1,T2] 上的采样时域函数百分比
t = (0:N-1)*DT/(N-1) + T1；
xd = (t-2).*exp(-t);

% DFT 近似 CTFT
Xd = Ts * fft(xd);
fd = (0:N-1)*Fs/N;

偏移 T1 的 % 相位校正
Xd = Xd .* exp(-1i*T1*2*pi*fd);

% CTFT 的精确表达式
N2 = 圆形（N/2）；
fc = fd(1:N2);
Hc = exp(-2*(1+1i*2*pi*fc))./(1+1i*2*pi*fc).^2;

% 绘图结果
子图（2,1,1），图（fc，20*log10（abs（Xd（1：N2））），fc，20*log10（abs（Hc）））
    标题（'幅度（dB）'），xlabel（'f'），图例（'DFT'，'CTFT'），
    轴（[0,Fs/2,-110,-10]），网格打开
子图(2,2,3), 图(fc,20*log10(abs(Xd(1:N2))) - 20*log10(abs(Hc)))
    title('幅度误差 (dB)'), xlabel('f'), grid on
子图（2,2,4），情节（fc，展开（角度（Xd（1：N2）））-展开（角度（Hc）））
    title('相位误差 (rad)'), xlabel('f'), grid on

下图显示了 CTFT 的幅度和 DFT 的近似值，以及幅度和相位的近似误差。

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