$\operatorname{E}[|X(\omega)|^2]$具有有用的品质，如果$S$代表干净的信号和$N$表示噪声，并且$\operatorname{E}[S] = 0,$ $\operatorname{E}[N] = 0,$和$S$和$N$是独立的，那么它来自：

$$X = S + N,$$

那：

$$\operatorname{E}[|X(\omega)|^2] = \operatorname{E}[|S(\omega)|^2] + \operatorname{E}[|N(\omega)|^2].$$

$\operatorname{E}[|X(\omega)|]$没有类似的质量。它在数学上不太方便。

我不同意给定答案的其他方面。

它取决于假设的信号模型。

如果$x(t)=s(t)+n(t)$使得概率密度$x(t)$是

$$p(x(t))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{(x(t)-s(t))^2/(2\sigma^2)}$$ 然后 $$E\{ x(t) \}= s(t) \quad \text{and} \quad \ne 0 \quad \text{even if the time average of} \; s(t)=0$$ 和 $$E\{ x(t)^2 \}= s(t)^2+\sigma^2$$ 该模型在第 3 章中介绍

Van Trees, HL “检测、估计和调制理论。第 1 部分 - 检测、估计和线性调制理论。” （1968 年）。

未知信号不一定是随机的。未知的确定性信号不是遍历的。时间平均值和期望值不一样。

一个可以有信号模型，其中$s(t)$是随机的并且$E\{s(t)\}=0$.

大部分光谱分析文献假设$E\{s(t)\}=0$但不是所有的。

这让我们回到你原来的问题。数量

$$E\{ x(t)^2 \}= s(t)^2+\sigma^2$$

这就是为什么幅度平方的期望值通常被假设为幂，确定性或随机性，增加（如果独立，如果相关则更复杂一些）的原因。

最后的评论，许多信号模型都具有随机和确定性特征。

贝叶斯模型可以采用这种形式。

$$p(x(t))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{(x(t)-s(t))^2/(2\sigma^2)} p(s(t),\sigma)$$ 或者如果合适，模型可以采用以下形式： $$p(x(t))=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{(x(t)-As(t))^2/(2\sigma^2)} p(A)$$

信号处理中的有趣之处在于，可能无法做出“正确”假设的算法通常运行良好。这通常为工程师提供了一个交易空间，可以在存在实施限制的情况下提供解决方案。

仅仅因为这给了我们一个功率谱密度，这通常比一些幅度​​密度更有帮助。但这只是一个约定。我们也可以使用$\sqrt{E\left[\lvert X(\omega)\rvert^2\right]}$.

你对随机性的考虑是错误的。期望算子的全点$E$是给你一个随机过程的非随机属性。

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脚注：
因为你提到$X(\omega)$直接在你关于随机性的问题中，让我评论一下$E[X]$本身。它与您的问题松散耦合：

我们无法使用$E\left[X(\omega)\right]$，因为对于大多数携带信息的实际信号来说，那总是$0$. 想一想：例如，一个正弦的均值为0，即$E[\sin t]=0$, 但它肯定不同于常数$0$或来自白噪声；但所有这些都有$E=0$. 问题，特别是在频率分析中，我们将任何信号建模为可表示为复杂正弦曲线的总和，无论您如何缩放它们，它们都具有，$E[e^{j\omega t}]=0$, 因此, 由于期望算子的线性$E[x = \sum_{n\ne 0}\alpha_n e^{j_n\omega t}+ \text{const.}]=0+\text{const.}$.

统计估计意味着：从一堆数据中得到一些复合且有意义的值。换句话说，如果你有一系列值$x_\lambda$, 你可以找一个单$\bar{x}$代表他们所有人。后者应均匀接近不同的$x_\lambda$. 所以一般来说，你需要一个距离函数$D$，然后您尝试评估是否存在一些$\bar{x}$谁的全球距离$G$所有$x_\lambda$是最小的（要“更具代表性”）。从数学上讲，您将尝试找到：

$$\bar{x} = \arg \min G_\lambda (D(x_\lambda-x))$$

即一个比最小化组合的值（总的来说$x_\lambda$,$G_\lambda$) 每个单独的距离$D(x_\lambda-x)$.

这听起来可能有点抽象，但这是一种精确的写法。如果你选择$D$为平方距离，并且$G_\lambda$是所有的总和（或平方）$\lambda$指数，你得到：

$$\bar{x} = \arg \min \sum_\lambda (x_\lambda-x)^2$$ 其最小值只是......经典平均值： $$\bar{x} = \frac{1}{|\Lambda|}\sum_{\lambda\in \Lambda} x_\lambda$$ 在哪里$|\Lambda|$表示集合的基数$\lambda$价值观。我用和符号写了它，但是对于连续值$\lambda$您将类似地使用积分。这个简单的解决方案是由于全局距离是凸的，有一个单一的解决方案，并且可以通过显式方式获得平方距离最小值，因为平方的导数产生线性方程，平均值只是线性组合的条款。如果你改变$D$用绝对值，一般不能得到明确的公式，但结果称为中位数。如果现在你选择$G_\lambda$作为最大值而不是总和，您将获得中档估计量。

因为人们相信能量守恒，因为正交性下的能量守恒，而且（也许主要是？）因为平方距离之和是为数不多的给出易于处理、敏感和易于计算的公式的全局之一，很多估计值是“最小二乘”，您的示例很好地表明了这一点。在傅里叶变换及其同事（Walsh-Hadamard、离散余弦变换、离散小波等）的正交保护下，以能量或最小二乘法执行标准谱估计。

同时，为了提高估计器的性能，尤其是对异常数据，存在鲁棒的谱估计器，例如：

强大的$L$- 基于估计形式的信号变换和时频表示，IEEE Transactions on Signal Processing，2003：

这$L$通过考虑 Huber (1981, 1998) 估计理论中的相应最小化问题，引入了基于估计的信号变换和时频 (TF) 表示。标准信号变换遵循作为高斯加性噪声环境的最大似然解决方案。对于被脉冲噪声破坏的信号，基于中值的变换会产生对非噪声信号变换的稳健估计。当输入噪声是高斯噪声和脉冲噪声的混合时，$L$-基于估计的信号变换可以胜过其他估计。在二次和高阶 TF 分析中，产生的噪声本质上是高斯输入噪声和脉冲噪声分量的混合。在这种情况下，基于 L 估计的信号表示可以产生最好的结果。这些变换和 TF 表示将标准形式和基于中值的形式作为特殊情况。参数选择的过程$L$- 提出了估计。该理论通过数字进行了说明和检验。