我的问题是，在不可数的无限维向量空间中，如何通过参数列表来表示向量，就像我们在有限维空间中所做的那样？我假设如果我们不能将向量表示为离散参数的列表，我们就有一个大问题......但是在编写这个问题的过程中，似乎没有什么大问题，参数只是更改为函数和总和变为积分。

但是我不确定我下面的推理是否正确，所以我还是把它贴在下面，如果有错误请纠正我：

在有限维向量空间中$\Omega$, 每个向量（或点）$\mathbf{v}$表示为数字列表$c_i, i\in\mathbb{N}$，可以看作是向量的参数或系数，从某种意义上说，向量是参数与相应基数的乘积之和$e_i$：

$$\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} c_i e_i$$

什么时候$e_i=x^i$， 然后$\Omega$是一个有限维多项式函数空间。

现在，如果维度不是有限的，似乎有两种可能性：

1. 可数无限维
2. 不可数无限维，例如$e_i=x^i, i\in \mathbb{R}$

对于第一种情况，向量$\mathbf{v}$在多项式函数空间中可以类似地表示：

$$\mathbf{v}=\sum_{i=1}^{\infty} c_i e_i$$ 和$\mathbf{v}$也可以用它的参数来表示，即无限成员的列表，如$c_i, i\in\mathbb{N}$.

但是对于第二种情况，似乎无法代表$\mathbf{v}$不再是离散参数列表...参数本身就是一个连续函数$c:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$. 在这种情况下，向量$\mathbf{v}$应根据其参数和相关基数表示为积分：

$$\mathbf{v}=\int_{-\infty}^{\infty} c(x) e(x)\mathrm{d}x$$

我的问题来自傅立叶变换。现在有了上面的理解，我有以下几点： 松散地说，所有的函数（谁的傅立叶 Fransform 存在）形成了一个不可数无限维向量空间，具有不可数无限个基$e^{j\omega t}, \omega\in\mathbb{R}$. 这个空间中每个函数的参数都是一个函数$X(\omega)$，由傅里叶变换公式定义：

$$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\mathrm{d}t$$ 傅里叶逆变换公式就是向量的表达方式$f(t)$就其参数和相关基础而言：

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega$$