信息处理 - 离散正弦信号的微分 - 吾爱随笔录

离散正弦信号的微分

信息处理离散信号

2022-02-16 23:06:21

我从离散正弦信号的微分中了解到 $y(n) = \alpha(x(n)-y(n-1))$ 其中 $\alpha$ 可能是取决于采样频率和信号频率的一个因素。现在 y(n) 表示信号，它是 $90^\circ$ 相移正弦波。

我的问题是为什么要使用希尔伯特变换和其他复杂的方法来将信号移动 $90 ^\circ$ 。我关心的是 $50\,\text{Hz}$ 信号直到 $40$ 次谐波。

1个回答

希尔伯特变换具有谐波对应的特性（Vakman 1996），这意味着余弦波的希尔伯特变换是正弦波等。所以希尔伯特变换是一个 90 度的相移。事实上，傅里叶域中的希尔伯特变换看起来与微分算子非常相似：

F [\frac{d}{d t} f (t)] (u) = - i w F [f (t)] (u)

$\mathcal{F}\left[\tfrac{d}{dt} f(t)\right](u) = -iw \mathcal{F}[f(t)](u)$

F [H [f] (t)] (u) = - i \frac{w}{| w |} F [f (t)] (u)

$\mathcal{F}\left[\mathcal{H}[f](t)\right](u) = -i\frac{w}{|w|} \mathcal{F}[f(t)](u)$

我们可以看到，对于频率为 $w_0$ 的正弦曲线，导数是由 $w_0$ 缩放的希尔伯特变换。的希尔伯特变换， \cos $\cos(n t) = -\sin(n t)$ 的导数。因此，在您的公式中仔细选择 alpha 将为您提供相移，同时补偿频率缩放，这与希尔伯特变换相同。 $\cos(n t) = -n \sin(nt)$

如果您有非正弦信号，则必须将 90 度相移应用于每个正弦分量。这与微分不同，你不能使用你的公式。例如方波的希尔伯特变换（来自维基百科）：

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