信息处理 - Z 变换 - ROC 值 - 吾爱随笔录

信息处理 z变换

2022-02-23 21:20:04

我正在阅读一本关于 Z 变换的 DSP 书。

确定信号的 z 变换和 ROC ？ $\displaystyle x(n) = a^nu(n)$

解说所以因此 ROC

X (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (a z^{- 1})^{n}

$\displaystyle X(z) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty (az{^{-1}})^n$

X (z) = \frac{z}{z - a}

$\displaystyle X(z) = \frac{ \displaystyle {z} }{z-a}$

| z | > a

$|z| > a$

据我了解，对于 z > a 系列的所有值具有有限值。 $\frac{ \displaystyle {z} }{z-a}$

但是对于它们存在一个值：和该系列的有限值为 -1，依此类推。那么为什么 -1 不被视为存在 ROC 的集合 - 或者我对 ROC 的理解是错误的？ $|z| < a$ $z = 5$ $a = 10$

1个回答

评估函数和的某些给定值产生有限值的事实并不意味着原始系列（来自 -transform definition) 的相同值和。在我们确定收敛区域之前，我们唯一可以说的是，如果级数收敛，那么它将收敛到。

\begin{aligned} \frac{z}{z - a} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{z}{z-a} \end{align}$

z

$z$

a

$a$

Z

$\mathcal{Z}$

\begin{aligned} X (z) = \sum_{n = 0}^{\infty} (a z^{- 1})^{n} \end{aligned}

$\begin{align} X(z) = \sum_{n=0}^\infty(az^{-1})^n \end{align}$

z

$z$

a

$a$

\frac{z}{z - a}

$\frac{z}{z-a}$

在和的情况下，查看序列 as增加产量：您可能注意到它不会收敛到 -1，实际上发散为。收敛区域告诉你这个序列在哪里收敛（在这种情况下是）。 $z=5$ $a=10$

\begin{aligned} {\sum_{n = 0}^{N} (a z^{- 1})^{n}} \end{aligned}

$\begin{align} \left\{\sum_{n=0}^N (az^{-1})^n \right\} \end{align}$

N

$N$

{1, 3, 7, 15, 31, 63, . . .}

$\{1, 3, 7, 15, 31, 63, ...\}$

N \to \infty

$N\rightarrow\infty$

| z | > | a |

$|z|>|a|$

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