是的，你可以，不知何故。但这不会是最简单的道路。

在教授基本 DSP 时，我经常看到学生害怕“学习所有公式”和与傅立叶变换、傅立叶级数、离散时间傅立叶变换、$z$-变换和离散傅里叶变换与快速傅里叶变换或 FFT，最多时频变换。

它们有许多共同的特征：能量守恒、正交性、标量乘积公式、卷积转化为乘法、Parseval-Plancherel 公式等，但也有重要的（通常是细微的）差异。. 一种统一这些概念的工具有时被称为Pontryagin duality。对于基本概述，wiki 页面是可以的：

Pontryagin 对偶性将许多关于实线或有限阿贝尔群上的函数的观察结果放在一个统一的上下文中

例如，您可以查看傅里叶“变换”的四个原始域和对偶域，如下表所示：

$$\begin{array}{lcc} \textrm{Transform} & \textrm{Original domain}& \textrm{Transform domain}\\ \textrm{Fourier transform} & \mathbb {R} &\mathbb {R} \\ \textrm{Fourier series}& \mathbb {T} & \mathbb {Z} \\ \textrm{Discrete-time Fourier transform (DTFT)} & \mathbb {Z} & \mathbb {T} \\ \textrm{Discrete Fourier transform (DFT)}& {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} & {\displaystyle \mathbb {Z} /(n)} \end{array}$$

它提供了几种将属性从一个域派生到另一个域的方法。但是这个工具深入研究了复杂的概念，例如范畴论，例如，参见注释 2：傅里叶变换 (Terry Tao)或应用于 Pontryagin 对偶的范畴理论。

了解一种变换的性质，您可以推导出其他变换的性质，但为此您必须掌握一些高等数学。不幸的是，没有免费的午餐。

您最好学习如何记住一些公式以进行少量转换

如果您真的想这样做，请研究拉普拉斯变换，因为：

1. Z-Transform 可以看作是一个映射$z = e^{s/f_s}$， 在哪里$f_s$是采样频率。
2. 傅里叶变换（和序列）是一种特殊情况，当$s = j\omega$（尽管您不能仅通过替换来计算变换，除非拉普拉斯变换的 ROC 包含虚轴。）
3. DTFT 与傅里叶变换与拉普拉斯变换的 Z 变换有类似的关系（在$z = e^{j\omega}$)
4. DFT 是 DTFT 的“频域采样版本”

但我不推荐它。

另外，如果您真的想了解通用框架中的所有内容，请学习线性代数。因为所有这些都只不过是对向量空间（或函数空间，如果你愿意的话）的投影。

可能它比完整的答案更适合作为评论，但我还没有足够的分数。

我个人发现 EO Brigham 的书《快速傅里叶变换》非常有启发性。

不包括拉普拉斯和 Z，但恕我直言，它很好地解释了 DTFT 和 DFT 在引入采样时如何源自连续傅里叶变换，仅使用连续数学、卷积和分布理论。

它还使用图形化、易于理解和记忆的方法来做到这一点。

绝对不足以涵盖所有内容，但我相信这是一个非常好的起点。