简而言之，这是因为 base-Rmanova(lm())对所谓的 I 类平方和使用顺序模型比较，而默认情况下，car对Manova()II 类平方和使用模型比较。

我假设您熟悉方差分析或回归分析的模型比较方法。这种方法通过将受限模型（对应于零假设）与非受限模型（对应于备择假设）进行比较来定义这些检验。如果你不熟悉这个想法，我推荐 Maxwell & Delaney 的优秀“设计实验和分析数据”（2004 年）。

对于 I 型 SS，您的第一个预测变量的回归分析中的受限模型c是仅使用绝对项的空模型：lm(Y ~ 1)，Y在您的情况下，将是由 定义的多元 DV cbind(A, B)。不受限制的模型然后添加预测器c，即lm(Y ~ c + 1)。

对于 II 型 SS，您的第一个预测变量的回归分析中的无限制模型c是完整模型，其中包括除了它们的交互作用之外的所有预测变量，即lm(Y ~ c + d + e + f + g + H + I). 受限模型从非受限模型中移除预测变量c，即lm(Y ~ d + e + f + g + H + I)。

由于这两个函数都依赖于不同的模型比较，因此它们会导致不同的结果。哪个更可取的问题很难回答——这实际上取决于你的假设。

接下来的内容假设您熟悉如何基于空模型、完整模型和一对受限-非受限模型计算多变量检验统计量（如 Pillai-Bartlett Trace）。为简洁起见，我只考虑预测变量c和H，并且只测试c。

N <- 100                             # generate some data: number of subjects
c <- rbinom(N, 1, 0.2)               # dichotomous predictor c
H <- rnorm(N, -10, 2)                # metric predictor H
A <- -1.4*c + 0.6*H + rnorm(N, 0, 3) # DV A
B <-  1.4*c - 0.6*H + rnorm(N, 0, 3) # DV B
Y <- cbind(A, B)                     # DV matrix
my.model <- lm(Y ~ c + H)            # the multivariate model
summary(manova(my.model))            # from base-R: SS type I
#           Df  Pillai approx F num Df den Df  Pr(>F)    
# c          1 0.06835   3.5213      2     96 0.03344 *  
# H          1 0.32664  23.2842      2     96 5.7e-09 ***
# Residuals 97                                           

为了比较，使用 SS 类型 IIcar的函数的结果。Manova()

library(car)                           # for Manova()
Manova(my.model, type="II")
# Type II MANOVA Tests: Pillai test statistic
#   Df test stat approx F num Df den Df  Pr(>F)    
# c  1   0.05904   3.0119      2     96 0.05387 .  
# H  1   0.32664  23.2842      2     96 5.7e-09 ***

现在手动验证这两个结果。首先构建设计矩阵并与 R 的设计矩阵进行比较。$X$

X  <- cbind(1, c, H)
XR <- model.matrix(~ c + H)
all.equal(X, XR, check.attributes=FALSE)
# [1] TRUE

现在定义完整模型的正交投影（，使用所有预测变量）。这给了我们矩阵。$P_{f} = X (X'X)^{-1} X'$$W = Y' (I-P_{f}) Y$

Pf  <- X %*% solve(t(X) %*% X) %*% t(X)
Id  <- diag(N)
WW  <- t(Y) %*% (Id - Pf) %*% Y

SS 类型 I 的受限和非受限模型加上它们的投影和，导致矩阵。$P_{rI}$$P_{uI}$$B_{I} = Y' (P_{uI} - P_{PrI}) Y$

XrI <- X[ , 1]
PrI <- XrI %*% solve(t(XrI) %*% XrI) %*% t(XrI)
XuI <- X[ , c(1, 2)]
PuI <- XuI %*% solve(t(XuI) %*% XuI) %*% t(XuI)
Bi  <- t(Y) %*% (PuI - PrI) %*% Y

SS 类型 II 的受限和非受限模型加上它们的投影和，导致矩阵。$P_{rI}$$P_{uII}$$B_{II} = Y' (P_{uII} - P_{PrII}) Y$

XrII <- X[ , -2]
PrII <- XrII %*% solve(t(XrII) %*% XrII) %*% t(XrII)
PuII <- Pf
Bii  <- t(Y) %*% (PuII - PrII) %*% Y

两种类型 SS 的 Pillai-Bartlett 迹线：的迹线。$(B + W)^{-1} B$

(PBTi  <- sum(diag(solve(Bi  + WW) %*% Bi)))   # SS type I
# [1] 0.0683467

(PBTii <- sum(diag(solve(Bii + WW) %*% Bii)))  # SS type II
# [1] 0.05904288

请注意，正交投影的计算模拟了数学公式，但在数值上是一个坏主意。应该真正结合使用 QR 分解或 SVD crossprod()。

好吧，我仍然没有足够的分数来评论以前的答案，这就是为什么我将它写成单独的答案，所以请原谅我。（如果可能的话，请让我超过 50 个代表点；）

所以这里是 2cents： I 类、II 类和 III 类错误测试本质上是由于数据不平衡而导致的变化。（定义不平衡：在每个层中没有相同数量的观察值）。如果数据是平衡的 I 类、II 类和 III 类错误测试给出完全相同的结果。

那么当数据不平衡时会发生什么？

考虑一个包含两个因素 A 和 B 的模型；因此有两个主效应和一个交互作用 AB。SS(A, B, AB) 表示完整模型 SS(A, B) 表示没有交互的模型。SS(B, AB) 表示模型不考虑因子 A 的影响，依此类推。

这个符号现在很有意义。请记住它。

SS(AB | A, B) = SS(A, B, AB) - SS(A, B)

SS(A | B, AB) = SS(A, B, AB) - SS(B, AB)

SS(B | A, AB) = SS(A, B, AB) - SS(A, AB)

SS(A | B)     = SS(A, B) - SS(B)

SS(B | A)     = SS(A, B) - SS(A)

类型 I，也称为“顺序”平方和：

1)SS(A) for factor A.

2)SS(B | A) for factor B.

3)SS(AB | B, A) for interaction AB.

所以我们首先估计 A 的主要影响，B 给定 A 的影响，然后估计给定 A 和 B 的交互作用 AB （这是不平衡数据的地方，差异开始出现。因为我们首先估计主要影响，然后是其他和主要影响然后以“顺序”进行交互）

类型二：

1)SS(A | B) for factor A.

2)SS(B | A) for factor B.

类型 II 检验 A 后 B 和 B 后 A 主效应的显着性。为什么没有 SS(AB | B, A) ？需要注意的是，只有在我们已经测试过交互作用微不足道时才能使用类型 II 方法。鉴于没有交互作用（SS(AB | B, A) 不显着）II 型测试比 III 型测试具有更好的功效

第三类：

1)SS(A | B, AB) for factor A.

2)SS(B | A, AB) for factor B.

因此，我们测试了 II 型期间的交互作用，并且交互作用显着。现在我们需要使用类型 III，因为它考虑了交互项。

正如@caracal 已经说过的，当数据平衡时，因子是正交的，类型 I、II 和 III 都给出相同的结果。我希望这有帮助 ！

披露：大部分不是我自己的作品。我发现这个很棒的页面有链接 ，我想进一步简化它以使其更简单。