计算科学 - 如何在数值上求解这样的方程组 - 吾爱随笔录

如何在数值上求解这样的方程组

计算科学线性代数

2021-12-19 04:38:49

我有一个方程组其中的某个域中任意选择，是已知的，的多项式。这里到的通用函数，但对我来说，只知道它在个相互不同的点中的值就足够了。

S_{m} (ξ) + P_{m} (ξ) = f (ξ)

$S_{m}(\xi) +P_{m}(\xi)=f(\xi)$

ξ

$\xi$

C

$\mathbb{C}$

f

$f$

P_{m}

$P_m$

m

$m$

S_{m}

$S_{m}$

C

$\mathbb{C}$

C

$\mathbb{C}$

(m + 1)

$(m+1)$

取个相互不同的点我们可以反转 Vandermonde 矩阵，因此将 P_m 的系数写 k的线性组合。在方程中引入这个结果，我们得到了上的线性系统。所以理论上我们可以找到。但是有什么方法可以实际做到吗？ $(m+1)$ $\xi_0, \ldots, \xi_m$ $P_m$ $S_m(\xi_k)$ $k=0,\ldots,m$ $S_{m}(\xi_k)$ $S_{m}(\xi_k)$

3个回答

如果你知道的话 $f$ 和 $S$ 在 $m+1$ 点，你有标准多项式插值问题 $f-S$ 作为右手边。因此牛顿或拉格朗日插值给出了稳定的答案。

不幸的是，我还不能发表评论，所以我把它作为答案。

我认为这个问题没有足够的限制。 $S_m = f - P_m$ 在哪里 $P_m$ 是任何次数的多项式 $\leq m$ 将是一个可能的解决方案，因此没有办法找出我们正在谈论的多项式。

有比 Vandermonde 更好的多项式基础可供使用，结果证明它对于许多现实世界的拟合来说真的很差。如果您对您的解决方案有所了解，您将能够选择一个更好的基础，但我会从切比雪夫基础开始，适当地按以下范围缩放 $\xi$ .

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