计算科学 - 解决忽略时间导数的初始值问题 - 吾爱随笔录

我在看一个热初始值问题

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla^{2} u = f & in Ω \times (0, T) \\ u = g & on \partial Ω \times (0, T) \\ u = u_{0} & in Ω \times {0} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial u}{\partial t}-\nabla^2u = f\quad&\text{in}\quad \Omega\times(0,T)\\ u = g \quad&\text{on}\quad \partial\Omega\times(0,T)\\ u = u_0\quad&\text{in}\quad \Omega\times\{0\} \end{align}$ 我已经用有限元方法和时间步长方案成功地解决了这个问题，所以这不是我的问题。然而，我的问题是，它似乎只解决边界值问题

\begin{aligned} - \nabla^{2} u = f & in Ω \\ u = g & on \partial Ω \end{aligned}

$\begin{align} -\nabla^2u = f\quad&\text{in}\quad \Omega\\ u = g \quad&\text{on}\quad \partial\Omega\\ \end{align}$ 对于各种固定时间，例如

f (x, y, 0), f (x, y, 0.1),

$f(x,y,0),f(x,y,0.1),$ 等等。这似乎很好地近似了初始值问题的解决方案，我不明白为什么。这只是忽略了在我看来的时间导数（当然，函数

f

$f$ 这两个问题都是一样的，所以时间导数的“信息”不会丢失，但它仍然让我感到困惑）。这只是线条的方法吗？

谢谢