计算科学 - 如何在内部惩罚 DG 方法中施加 Neumann 边界条件 - 吾爱随笔录

考虑以下两点 BVP：

- u^{″} (x) = f (x), u (0) = u (1) = 0.

$-u''(x)=f(x),~~~u(0)=u(1)=0.$ 弱施加齐次狄利克雷边界条件的 BVP 的内部惩罚 DG 方法的形式为：

\sum_{i = 0}^{N - 1} \int_{I_{i}} u^{'} (x) v^{'} (x) d x + \frac{1}{h} \sum_{i = 0}^{N} [[u]] |_{x_{i}} [[v]] |_{x_{i}} - ϵ ((v^{'})) |_{x_{i}} [[u]] |_{x_{i}} - ((u^{'})) |_{x_{i}} [[v]] |_{x_{i}} = \int_{0}^{1} f (x) v (x) d x,

$\sum_{i=0}^{N-1} \int_{I_i} u'(x) v'(x)\,dx + \frac{1}{h} \sum_{i=0}^{N } [\![u]\!]|_{x_i} [\![ v]\!]|_{x_i} - \epsilon (\!( v')\!)|_{x_i} [\![ u ]\!]|_{x_i} - (\!( u')\!)|_{x_i} [\![ v ]\!]|_{x_i} = \int_{0}^{1} f(x)v(x)\,dx,$ 在哪里

[[\cdot]]

$[\![ \cdot ]\!]$ 是跳转运算符，并且

((\cdot))

$(\!( \cdot )\!)$ 是平均操作员（有关更多详细信息，请参阅：https ://scicomp.stackexchange.com/questions/19394/help-implementing-1d-ode-discontinuous-galerkin-method ）。

问题： 如何修改上述内部惩罚 DG 方法，使其能够处理 Neumann 边界条件？对于 2D 和 3D 中的泊松方程，我已经看到通过元素边界上的积分处理的 Neumann 边界条件......不确定 ODE 是否有类似的情况......