计算科学 - 使用数值积分计算傅里叶级数的系数 - 吾爱随笔录

我正在使用傅里叶级数来找到二维热方程的解析解。问题是用于计算级数系数的积分无法解析求解。

我目前正在使用 GSL 的 Monte Carlo 积分来计算它们，这会给系列带来错误。我的问题是解决方案是否会收敛到分析解决方案？如果没有，我怎样才能得到错误的估计？

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这是我的初始条件：

\begin{aligned} C_{0} (x, y) = {\begin{cases} 0 & r (x, y) \geq 15 \\ 4 - \frac{4}{15} r (x, y) & r (x, y) < 15 \end{cases} \\ r (x, y) = \sqrt{(x - 75)^{2} + (y - 50)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} &C_0(x,y) = \left\lbrace \begin{array}{lll} 0 & &r(x,y) \geq 15\\ 4- \dfrac{4}{15} r(x,y) & &r(x,y) < 15 \end{array}\right. \label{ch3-diffusion-2d-circle-init-cond}\\ &r(x,y) = \sqrt{(x-75)^2 + (y-50)^2} \end{align}$

这是积分：

A_{m n} = \frac{4}{l_{x} l_{y}} \int_{0}^{l_{y}} \int_{0}^{l_{x}} C_{0} (x, y) \sin (\frac{m π x}{l_{x}}) \sin (\frac{n π y}{l_{y}}) d x d y, \forall m, n \in ℵ

$A_{mn}={4\over l_x l_y}\int_0^{l_y} \int_0^{l_x} C_0(x,y)\sin\left({m\pi\, x\over l_x}\right)\sin\left({n\pi\, y\over l_y}\right)\,dx\,dy, \quad \forall m,n \in \aleph$

其中。 $l_x=l_y = 100$

这是我在 500 次迭代后得到的：

从第 100 次迭代开始，这并没有真正改善。