计算科学 - 在给定一般形式的情况下找到椭圆体的矩阵形式 - 吾爱随笔录

在给定一般形式的情况下找到椭圆体的矩阵形式

计算科学线性代数

2021-12-04 18:58:40

我有想要拟合椭圆体的数据，我目前正在通过以下 Matlab 命令拟合它：

xs = pts(:,1);
ys = pts(:,2);
zs = pts(:,3);

A0 = [xs.^2 ys.^2 zs.^2 xs.*ys ys.*zs xs.*zs xs ys zs ones(size(xs))];
B0 = [ones(size(xs))];

A = A0'*A0;
B = A0'*B0;

X = A\B;

但我C++稍后会重写这个。现在，我有X哪些是 3 空间中椭圆体的一般形式的参数。我现在如何将这些参数转换为3x3矩阵来计算

(x - C)^{T} \cdot A \cdot (x - C)

$(x-C)^T \cdot A \cdot (x-C)$ 这样我就可以有效地计算点为中心的椭球内？此外，不是这些参数的原始计算的任何部分，所以在执行 LS 拟合之前，我需要将、和移动到原始位置吗？

x

$x$

C

$C$

C

$C$ xsyszs

2个回答

您实际上还没有定义一个椭球

$(x-c)^{T}A(x-c)$

椭圆体由不等式定义

$(x-c)^{T}A(x-c) \leq 1$ 。

请记住，没有这种形式的椭球对应于您可能从最小二乘解中得到的 $X$

如果有解，则二次项与、、相关联。 $X(1)$ $\ldots$ $X(6)$

$A=[X(1) \; X(4) \; X(6); X(4) \; X(2) \; X(5); X(6) \; X(5) \; X(3)]$

然后解决

$-2AC=[X(7); \; X(8); \; X(9)]$

$C^{T}C=X(10)$

如果没有这样的解，或者不是正定的，则不对应于椭球。 $A$ $X$

在实践中，这很可能无法产生解决方案。还有其他方法可以将椭球拟合到确实有效的数据，但它们并不是基于您已经完成的首先拟合最小二乘二次形式。

将所有点包含在椭球体中让我想起了最小体积椭球体问题。这很容易用Khachiyan 算法解决。MATLAB 代码可在此处获得。话虽如此，我认为值得提醒您的是，矩阵实际上是逆协方差矩阵。 $A$

其它你可能感兴趣的问题

上一篇条件独立（贝叶斯网络）下一篇如何实现“无应力”边界条件（斯托克斯流）？