计算科学 - 边界附近的二阶精确有限差分法可变材料特性 - 吾爱随笔录

计算科学有限元有限差分有限体积收敛准确性

2021-12-19 18:02:56

我知道使用变量属性进行中心差分的二阶精确有限差分方法可以用有限体积类型的方式编写：

\nabla ∙ (k \nabla f) = \frac{\frac{f_{i + 1} - f_{i}}{Δ x_{i + 1 / 2}} k_{i + 1 / 2} - \frac{f_{i} - f_{i - 1}}{Δ x_{i - 1 / 2}} k_{i - 1 / 2}}{Δ x_{i}}

$\nabla \bullet (k \nabla f) = \frac{\frac{f_{i+1}-f_{i}}{\Delta x_{i+1/2}}k_{i+1/2}-\frac{f_{i}-f_{i-1}}{\Delta x_{i-1/2}} k_{i-1/2}}{\Delta x_{i}}$

这种离散化对于内部点是二阶精确的，但是通常在边界附近使用什么公式？我很好奇2个案例：哪里 $f$ 位于 (1) 单元中心和 (2) 单元角位置。

任何帮助是极大的赞赏。

1个回答

这个答案是关于如何为可变材料属性实现边界条件 (BC)。我的经验是它们是二阶准确的，但我现在找不到证明这种陈述的参考资料。无论如何，我希望它有所帮助，如果没有，它可能对其他读者有用。最接近的参考资料是 Patankar 关于数值传热和传质的书。

1.）让例如 $x_{i-1/2}$ 位于边界。如果 $f_i$ 位于单元中心，则基于通量的边界条件很容易实现，在您的方案中替换术语

k_{i - 1 / 2} \frac{f_{i} - f_{i - 1}}{Δ x_{i - 1 / 2}}

$k_{i-1/2} \frac{f_i - f_{i-1}}{\Delta x_{i-1/2}}$ 在规定的期限内

k \partial_{x} f

$k \partial_x f$ 在基于通量的边界条件下。

如果您有 Dirichlet BC，则需要付出更多努力。通常，您线性推断缺失的（外部）值 $f_{i-1}$ 从给定值 $f_{i-1/2}$ 从公元前和从 $f_i$ 然后插入这样的 $f_{i-1}$ 到你的计划。事实上，您可能会使用二次外推法，具体取决于 $f_{i+1}$ .

2.) 如果 $f_i$ 位于角落位置，如果 $x_i$ 位于边界并且你有 Dirichlet BC，你不需要在这里应用这个方案，值 $f_i$ 由 BC 给出

\frac{\frac{f_{i + 1} - f_{i}}{Δ x_{i + 1 / 2}} k_{i + 1 / 2} - F l u x_{i}}{Δ x_{i} / 2}

$\frac{\frac{f_{i+1}-f_{i}}{\Delta x_{i+1/2}}k_{i+1/2}-Flux_i}{\Delta x_{i}/2}$ 值在哪里

F l u x_{i}

$Flux_i$ 从 BC 获得

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